Физика полупроводниковых приборов Книга 2 - Зи С.
Скачать (прямая ссылка):
движением в плоскости, перпендикулярной направлению туннелирования (или С
поперечной компонентой импульса), а Ех - энергия движения
в направлении туннелирования. Тогда при Е
J.
РЕ
4/4
¦f Я
1"
и координаты классических точек поворота равны
¦^-YeIh + ejel.
- л-1,-лг2 = =F
0 (рис. 5, в)
(7)
(8)
Из соотношений (1), (7) и (8) получаем вероятность туннели рования
' лт*,/24/2\ / 2 Е
2V2gh& )
Tt <=* exp
(9)
где первая экспонента та же, что и в выражении (6), и соответствует
вероятности туннелирования с нулевым поперечным импульсом. Характерная
энергия при_ туннелировании с отличным от нуля поперечным импульсом Е
равна
Злт*
(Ю)
Если эта величина очень мала, могут туннелировать лишь электроны с малым
поперечным импульсом. Другими словами, налн-
Туннельные приборы
105
чие поперечного импульса у частицы приводит к дополнительному уменьшению
вероятности туннелирования в ехр (-2Е±/Ё) раз. При прямом туннелировании
поперечный импульс должен сохраняться. Из приведенных выше результатов
следует, что вероятность туннелирования тем больше, чем меньше
эффективная масса и ширина запрещенной зоны и чем больше электрическое
поле.
Теперь найдем величину туннельного тока. Сначала сделаем это в первом
приближении, используя плотности состояний в зоне проводимости и
валентной зоне [1 ], а затем обсудим более строгую теорию прямого
туннелирования [6].
В условиях теплового равновесия туннельный ток /у-"с с заполненных
состояний валентной зоны на пустые состояния в зоне проводимости равен
току Ic^v с заполненных состояний зоны проводимости на пустые состояния
валентной зоны в соответствии с принципом детального равновесия.
Выражения для IC->v и 1у->с имеют следующий вид:
Ic~v=*A\ Fc(E)nc(E)TlU-Fv(E)]nv(E)dE, (11а)
Ес
EV
Iv^c = А \ F " (Е) nv (Е) T,\\-Fc (?)] пс (Е) dE, (11 б)
Е
где А - константа; Tt - вероятность туннелирования, которая считается
равной для обоих направлений; Fc (Е) и Fv (Е) - функции распределения
Ферми-Дирака; пс (Е) и nv (Е) - плотности состояний в зоне проводимости и
валентной зоне соответственно. При смещении перехода наблюдаемый ток It
равен
It - Ic-v- Iv-c - А | [Fc (E) - Fy (E)]T tiic (E) tiy (E) dE. (12)
Ec
В результате последующих вычислений формула (12) приводится к виду [7]
It = lp(V/Vp)exp(l - V/Vp), (13)
Где lp и VP - ток и напряжение, определенные в соответствии с рис. 2.
Напряжение VP можно оценить из условия максимума произведения числа
заполненных.состояний в "-области на число пустых состояний с той. же
энергией в р-области. Результат можно записать в виде [7]
(14)
106
Глава 9
§. 100
100 200 300 400 500
УП+ Vp , Ид
Рис. 6. Зависимость напряжения Vp для германиевых туннельных диодов от
суммы Vn и Vp [7, 9].
X при изменении Vр", О при изменении Vn,
Степень вырождения /г-области Vn можно оценить из интеграла Ферми-Дирака
18]:
где Nd - концентрация доноров, Nc - эффективная плотность состояний в
зоне проводимости. Аналогичное выражение можно написать для степени
вырождения p-области VP, если только в соотношении (15) заменить ND на
NA, a Nc на Nv.
На рис. 6 приведена зависимость напряжения VP от суммы степеней
вырождения Vn и Vp, измеренная на германиевых туннельных диодах [9].
Видно, что сдвиг напряжения VP к большим значениям при увеличении
легирования и экспериментальные значения VP достаточно хорошо согласуются
с формулой (14).
При вычислении тока /Р мы сначала рассмотрим случай прямого
туннелирования, т. е. будем считать импульс сохраняющимся. Предельная
плотность тока в интервале энергий dEx dEL равна [6, 10]
In
(15)
(16)
где
E = EX+Elt Ex = h2k2x/2tn*x.
(17)
Туннельные приборы
107
Полагая т* изотропной и равной для электронов и дырок и используя
соотношения (9) и (17), получим выражение для плотности туннельного тока
Jt:
qm* I ят 1>2ЕЪ12 \ с
h = W ехР [-Шчпг? ) J[Fc{E ~ Fv {E)i х
X exp (-2E1/E)dEdE1. (18)
Для того чтобы в качестве переменных интегрирования фигурировали Е и Е1 ,
мы использовали выражение (16). Пределы интегрирования по Е± определяются
условиями 0 < Е± < ?, и 0 < El < Е2, где Ех и Е2 - энергии электрона,
отсчитанные от краев зоны проводимости и валентной зоны соответственно.
Пределы интегрирования по Е определяются краями зон. После интегрирования
по Е± получаем
о9)
cm* ( яш4 1/
V 1 еХР \ 2/2 fiq&
D=\[FC (Е) - Fv (?)][!- exp (- 2 EjE)} dE, (20)
# = (qVbiN*i2г8)ш, (21)
где в уравнение (20) введена величина Es, обозначающая меньшую из величин
Ех и Ег, а величина Е определяется выражением (10). Величина %> - средняя
напряженность электрического поля резкого перехода; qVbi - разность
потенциальных энергий на ьраях перехода, примерно равная ширине
запрещенной зоны; N* - эффективная концентрация легирования:
N* = NaNd/(Na + Nd). (22)
Для германиевого туннельного диода в качестве эффективной массы в
соотношение (19) следует [11] подставлять величину
1 . 1 \-i
I
те mlk
если речь идет о туннелировании из зоны легких дырок в точки (ООО) зоны