Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Jf = 0 выполнялась также совокупность следующих физических требова-
Эр Эр
—Г" и —-Ьх° Ьх°
знаку ?>; р и р конечны при h Ф 0. Таким образом, принятые кинематические и физические требования налагают на Ttiv пять ограничений (5). Функция K3 должна быть задана дополнительно: соотношение (6) вмесге с последним из соотношений (5) позволяет выразить две их пяти существенных составляющих тензора aik через три остальные, которые мы обозначим через qik.
Выразим 20 функций g^, Tfiv через 14 функций u>a,gik, qik,p и преобразуем таким образом (1)-(3). При надлежащем выборе qik из OLik и при g0 j Ф~ 0 уравнения (3), преобразованные с помощью (5), (6), представляют собой приводимые к нормальному виду (т.е. разрешенному относительно старшей производной) уравнения первого порядка по X0 относительно р и qik, содержащие также g?V и bg?Vjbxa. Уравнения (2) при g00 Ф 0 представляют собой приводимые к нормальному виду уравнения второго порядка по х° относительно gik. В некоторой мировой области Quj зададим функции cja. Тогда уравнения (2), (3) представляют собой систему
о р о р
ний: рс2 > Зр > 0; при DjeOLjl = 0 знаки — и ~ противоположны
10*
227 десяти приводимых к нормальному виду уравнений (S) относительно неизвестных функций р9 qiki gik. Пусть О{х°0, X10, X20, х%) - мировая точка (точка ^(хо» хо, *о) пространства при X0 = xg) в области Qoj. Зададим начальные условия: при*0 =Xq
р = <p(xl9X29X3) > 0, qik = Xik(x\xl 9х3)9
gik = Vik(X19X29X3)9 -^l = *ik(xl9 X29X3).
OXv
Выбор 16 функций \р, Xiki Фік> ^iki аналитических в окрестностях ТОЧКИ Л
подчиним условиям (что возможно всегда): а) правые части приведенных
к нормальному виду уравнений 2, рассматриваемые как функции 104
bgik Ър Э qik dgik аргументов: ха (через соа), р9 qik, gik9 ——, —у , -г-, —у*,
Ъхи дх1 Ъх1 Ъх'
Z2Sik ^2Sik
-—^ > -1—г > должны быть вещественны и аналитичны в области
Ъх'Ъх0 Ъх1 Ъх
(окрестности) системы их значений, равных соответственно X0 и значениям
Э<р 9 Xifc Wik **ik Wik
величин ,, X,, -—, —, —-, — , ^Гвточ-
ке Р\ б) четыре уравнения (1) ДОЛЖНЫ удовлетворяйся при X0 = Xq в силу начальных данных и (2). При выполнении а) согласно теореме Ковалевской из теории дифференциальных уравнений с частными производными в некоторой мировой области, содержащей точку O9 существует единственная система вещественных аналитических функций р9 qik9 gik9 удовлетворяющих уравнениям 2 и начальным данным. При выполнении б) эта система функций согласно теореме Лихнеровича удовлетворяет и уравнениям (1) в некоторой мировой области, содержащей точку О. По заданным соа и полученным gik9 qik9 р найдем функции g?V9 Tfiv9 удовлетворяющие в некоторой мировой области Q09 содержащей точку O9 уравнениям (1), (2) и всем принятым требованиям. Таким образом, при любой четверке функций соа, вещественных и аналитических в мировой области Quj9 при любом выборе точки О этой области (следовательно, при любом поведении величин соа в окрестностях О) и при любых (удовлетворяющих условиям а) и б) начальных данных существует зависящая от них мировая область Q0 (содержащая 0)9 в которой определено решение системы (1), (2), удовлетворяющее всем принятым требованиям. Сказанное справедливо при любом космологическом члене А, включая A = O.
Общий вьюод о существовании решений системы (1), (2), удовлетворяющих всем принятым требованиям при любом поведении величин coa в окрестностях данной мировой точки O9 относится, разумеется, и к случаю сжатия пространства в одних направлениях при его расширении в других, и к случаям, рассмотренным ниже.
1. В окрестностях О проведем через нее произвольное сечение ft (х°9 X1, X29 X3) = 0, содержащее времениподобные линии. Оно представляет собой поверхность, движущуюся с изменением X0 и проходящую через точку P при x0 = х0. Пусть во всех мировых точках сечения
228 B(CO1CO2CO3) л B2(CO1CO2CO3)
--- = 0, -:—-- Ф 0 (для X1, входящих в уравнения
Ъх° дх'дх0
*д D
сечения) и, следовательно, D = O, —Ф 0. Указанная поверхность слу-
Ъх1
жит границей между областью расширения и областью сжатия объема пространства.
2. В Окрестностях точки О проведем через нее произвольное пространст-венноподобное сечение fs(x° , X1 , X2 ,хг) = 0. Пусть во всех мировых точках
Э (CO1 CO2 CO3) э2 (CO1 CO2 CO3)
этого сечения --- = 0, -г-*- > О и, следовательно,
Ъх° Ъх°
*bD
D = 0, —— > 0. Очевидно, объем каждого элемента пространства в P Ъх°
и ее окрестностях проходит через регулярный конечный минимум при значении X0i связанном со значениями координат X19X29X3 элемента уравнением сечения. Характер поведения R совпадает с характером поведения объема.
Должным образом задавая со0 и Co1 со2 со3, можно получить в Qu любую зависимость R от т0, в частности, осуществляющую тип O2 (осциллирова-ние второго рода, т.е. между регулярными экстремумами).
Таким образом, в теории тяготения Эйнштейна переход от однородных изотропных космологических моделей к анизотропной неоднородной вселенной приводит к увеличению разнообразия типов поведения сопутствующего пространства, допускаемых уравнениями поля тяготения при некоторых физически естественных требованиях. В частности, прохождение объема любого элемента сопутствующего пространства через регулярный конечный минимум становится допустимым не только при космологической постоянной А > 0, как в случае однородных изотропных космологических моделей при упомянутых требованиях, но и при А < О и А = 0. Становится допустимым также одновременное сочетание расширения объема сопутствующего пространства в одной области с его сжатием в другой области, немыслимое в случае однородных моделей. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
