Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Накладывая определенные ограничения на Tiiv, g?V, будем предъявлять нужные нам требования самим решениям и выяснять возможность удовлетворения уравнениям Эйнштейна при этих условиях. Рассмотрим вопрос о существовании решений уравнений Эйнштейна, удовлетворяющих некоторым требованиям, в частности, соответствующих любому наперед заданному поведению объема и масштабного фактора сопутствующего пространства, включая его прохождение через регулярный минимум, при выполнении всех физически необходимых предположений о свойствах материи (положительность плотности и давления, изменение обеих величин в одну сторону, возрастание энтропии при наличии вязкости).
Будем пользоваться уравнениями тяготения Эйнштейна
G0v = -k(T0v - IAg0v Т) - Ag0 Gik = -K(Tik-IAgikT)-Agik
(О (2)
15. А.Л. Зельманов
225 и вытекающими из них уравнениями закона энергии и импульса
(TS)v = O, (7?)„ = 0. (3)
Будем пользоваться также теоремой Лихнеровича, согласно которой в некоторой четырехмерной области пространства-времени eg00 Ф О система уравнений (2)-(3) эквивалентна системе уравнений (1)-(2), если уравнения (1) удовлетворяются в силу начальных данных и (2) (см., например, Синг Д. Общая теория относительности, - M.: ИЛ, 1963. — С. 183). Таким образом, можем утверждать, что уравнения (1) служат для определения начальных данных, в то время как уравнения (2)-(3) служат для определения изменения неизвестных функций во времени.
Мы будем рассматривать вопрос о существовании решения задачи Коши с начальными данными с определенными свойствами для системы уравнений (2) — (3) и не будем касаться вопроса о непрерывной зависимости этого решения от начальных данных. Предполагаем, что в рассматриваемой области пространства-времени g00 Ф О, величины g?vt Tfkv - аналитические вещественные функции четырех координат. Решения системы уравнений (2)-(3) будем искать в классе аналитических функций, что значительно упрощает вопрос, так как позволяет воспользоваться классическими теоремами существования и единственности решения.
Для решения поставленной задачи воспользуемся полуобратным методом и на gpV наложим четыре ограничения, а на Tflv — шесть ограничений. Ограничения на g?V наложим таким образом, чтобы при этом задавалось нужное нам поведение масштабного фактора и выполнялись сигнатурные условия. Введем совокупность четырех вещественных аналитических функций четырех координат соа (на вектор!), определяемых равенствами
(<о0)2 = -goo, (^0co1)2 = -go ogii +Uoi)2, ^
(С00 ^2 )2 = -gg3 3 , (^O ?^1 CJ2 CJ3 )2 = -g-
Необходимые и достаточные условия того, что величины соответствуют метрике пространственно-временного континуума (сигнатурные условия), в силу (4) можно представить в виде неравенств
(co0)2 > о, (co1)2 > о, (co2)2 > о, (co3)2 > о,
которые выполняются автоматически в силу вещественности функций COa. Произвольным заданием соа как положительных аналитических функций координат свяжем величины g^v четырьмя соотношениями (4), накладывая тем самым на десять величин g?V четыре ограничения. Можно показать, что при заданных соа всегда g0v можно выразить через соа и gik; поэтому в качестве неизвестных функций, которые будем определять из уравнений (2), (3), возьмем шесть величин gik.
Очевидно, для ХИ-времени t0 покоящейся точки имеем cdr0 = сo0cfa0. Далее, (co1)2 = Ац, (coico2)2 = AA33, (coxco2co3)2 = А, где Hik - ХИ-метрический тензор, А - ХИ-фундаментальный определитель. Следовательно, задание функций соа содержит выбор (для любых*7 и dx1) зависимости от т0 ХИ-величин: 1) длины dLx = coicfa1 элемента линии х2 = = const, X3 = const; 2) площади dS12 = сох Co2Cfa1 dx2 элемента поверхности X3 = const, ограниченного координатными линиями; 3) объема
226 dV = CJ1CJ2 ^j3 dx1 dx2 dx3, ограниченного координатными поверхностями элемента пространства, а также величины R = г\/cj1 cj2 cj3 , г =
Эг Bcj1 B(cj1cj2)
= /-(X1, Xі, X*) > 0, —— = 0. Несовпадение знаков
Ъх° Ьх° 9 Ъх°
э( cj1(j2cj3)
и --- есть достаточный признак сжатия пространства в одних
Эдг
направлениях и расширения в других.
Будем рассматривать материю как среду, свободную от негравитационных и неинерциальных массовых сил, и пренебрегать потоком энергии относительно нее и второй вязкостью. Задав аналитические функции Kx, K2 ,K3, наложим на T?V шесть ограничений:
/' = 0; P=K1(P); DilOii1 = pK2(hikDik) > 0; (5)
К3(р,OLik,hik,Dik) = 0. (6)
ХИ-вектор плотности потока массы Jh1, плотность массы р, давление р и вязкий тензор напряжений Otik определены равенствами T00 = -pg00,
ст? = -Ji\/-goo, C2Tik = phik - OLik, OLti - 0. Для ХИ-тензора скоростей
с *bhik
деформации пространства Dik имеем Dik = — —— . Равенство нулю J1
2 Эх0
выражает три условия того, что используемая система отсчета сопутствует массе, следовательно (в нашем случае), и среде ("кинематические требования") . Равенство, содержащее K1, есть уравнение состояния. Оно может включать, кроме р и р, также другие величины, которые должны быть связаны с прочими величинами, входящими в (1)-(3) или (5). Соотношение, содержащее K2, выражает физическое требование - условие возрастания (неубывания) энтропии вследствие вязкости. Можно выбрать Kx так, чтобы в силу (3) с надлежащими начальными условиями и при
