Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зельманов А.Л. -> "Элементы общей теории относительности" -> 82

Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.

Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности — М.: Наука , 1989. — 240 c.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка): elementiobsheyteoriiotnositelnosti1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 89 >> Следующая

tld + Vl-

ab -Iе +

Ъх1

Ъх'

Ъхс

Ъх"

221 Вычислим также ортометрический тензор Ha? = Ha?y^, который связан с ортометрическим тензором Риччи ортометрического пространства Ca? следующим образом:

C*? = Ha? - \{A?tlD» + AaflDjI + A?aD). (5)

Для вычисления Ha? воспользуемся соотношением (см. гл. 15) 2 °ЪОа

'W. Qv = - a^ -^s- + <° V v^ - ° V (6)

где Qa — ортометрический вектор. В качестве вектора Qa возьмем

__ (q) (d)

hd_€a = ha ev . Легко убедиться в его ортометричности: я

(d) _-(a) (d) Qaba = АІ eaba = AS €v b* = 0,

Введем обозначение

= Ga ??ov/?a\

тогда

o« QflQeoV^vX = - -

(a) (Ь) (с)

где

_ = Ov ° V Vd--1 Ч. v^1 .ас •

(Ь)

Имеем _

oa gji qP (° Vm0 V? — ° Vj30 VM) ?a =

(a)(b)(c)

= pcL_ _ _ r^__Г* -__T^--Tcf-- —

.ac®b .g с .ab .cb .ag

_ p _ _ + p- __+ Г - г d =

.ab®c .g b .а с .b с

= 2ГЇ _ - + IY I -Г I _ + 2Г Г * _ , (7)

. а [ с ©Ь ] .g[b .laic] .ag .[be]

где используется обозначение

X[a\b\c] = l^x а Ь с ~ ХсЬа^'

Можно показать, что если Pafl - ортометрический тензор, то PaflQa =

(Ь)

= Рощ С учетом этого имеем (ъ)

& Qa QJ1 Q" = H«?/. ^Єа Є» 6^ S H-.

(ї)(Ь)(0 (a)(b)(c)

222 Из (6) легко можно получить H..J = е" є*3 Q*-^

аЬс' С* (F)(c)(a) Э^

+ Qa Q? Q?(°V?0V?-0V?° VM) cJ. (8)

Ce > сь ) (с)

После несложных вычислений убеждаемся, что (d)

°ЪОа (d) (d) Qa-- = cQ«hlb°UaQ,+cQ« Qn hennebn =

(a) dt (a) (E)

= chlh<Ln«CT__ + hln°h*- + h\hthfl . (9)

a r .it q a * Я

Тогда с учетом (7), (9) из (8) получим выражение для H- ^ = H- ^ - 0 : H-- = 2Г*_ _ _ +2Td. -Г* _ _ + 2Г*„Г* -- -

аЪ .a[d®b] .g[b .\a\d ] .[ bd]

1^bd - —- - - -- -ol-

(ca rLhin* Cr __ + hln°h* + hahth«). (10)

а r .na an q

Для получения окончательного выражения для H- -т нужно знать выра-

а Ъ

жения для Tc-- и Г - _ Вычислим сначала величины ГІ-. Применяя

•а b .a b®c .a b

оператор 0V? к соотношению

Х-г = Qol Qa = 7- -A^A^L (11)

(a)(b) lmn * *

(т) (м)

(заметим, что 7- - = ea еа ), получим

г--- + Г--- = A® X-=-.

а Ь с Ь a с с ab

Точка обозначает дифференцирование по t. Исходя из определения Г6!__

.а с

можно получить, ЧТО

ГЇ. - = (12)

.ас .с а .с а

где по определению

.с а а с г .q тт а с г саг

Если воспользоваться равенствами, отличающимися от (12) циклической перестановкой индексов, то получим

.bc 1 .cb ' y'bq .Zc 'cg .ba'

+ TedXrrA- + TedXrr h% _7ad/i°_'x--].

a b c с а о ' г Ь с J

223 Поскольку ГcL- зависит только от ґ, то .а Ъ

Td.. _ = (14)

.ab®c с .ab

Таким образом, с помощью (11)-(14) из (10) можно определить величины H--, выражения для которых мы не приводим в силу их громоздкости. По величинам H- легко найти ортометрический тензор H? v : (a)(b)

Hpv H- - єц ev .

По известному тензору Hiiv по формуле (5) легко находится ортометрический тензор Риччи ортометрического пространства Ciiv.

Итак, мы получили для пространственно однородных полей тяготения ортометрические тензоры Filt Aiiv, Diivt Ciiv, которые соответственно представляют собой динамическую, кинематическую, статическую и геометрическую характеристики ортометрического пространства. Зная выражения для Filt Aiiv, Diivt Ciiv, легко можно составить ортометрические инварианты, которые, как было отмечено выше, при нашем выборе поля монад будут совпадать с одноименными X И-скал я рами в сопутствующей системе отсчета. Приведем выражения для некоторых ортометрических инвариантов:

F11F*1 = -(C2HaHa)2 + с\н°'на + ndHcCcad) X

X (н«щ+HdHcCcbd)

1 с2

AiivA^ = — FiiFfi - — наньуаЬ +

с2

+ — ncC%bndCdpqyaPy^t

DiivD*" = AiivA^v +c2(D-^D-fhachbd) -

( Ъпь bna - ——-

- CD1----+ H-Cc. _ \hdahcb,

dcVaxj э*> с ¦baJ

D = -CH0 + CH0(H0lH0l) +С-П°уаЬуаЪ -CHcCaca.

Таким образом, по известным решениям уравнений Эйнштейна для пространственно однородных метрик в синхронной системе отсчета (т.е. по известным функциям. yabt H0f на), не переходя в сопутствующую систему отсчета, мы можем определить ХИ-скаляры в сопутствующей системе отсчета.

224 § 4. Полуобратный метод решения уравнений тяготения Эйнштейна

Уравнения тяготения Эйнштейна можно рассматривать как десять связей между двадцатью величинами - десятью составляющими фундаментального тензора g?V и десятью составляющими тензора энергии-импульса T?V. Решения уравнений Эйнштейна представляют собой такие соотношения между функциями g?V и Tliv, при которых эти уравнения превращаются в тождества. Для того чтобы математическую задачу нахождения решений уравнений Эйнштейна сделать определенной, нужно десять из двадцати величин g?v и Tilv задать в некоторой области пространства-времени; тогда другие десять величин в той же области можно найти, рещая уравнения Эйнштейна. Метод, при котором задаются все десять составляющих T?Pf а десять составляющих g?u находятся из уравнений Эйнштейна, называется прямым методом решения этих уравнений. При этом уравнения Эйнштейна, в общем случае, представляют собой систему десяти нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными относительно g?v, причем сами функции g?V должны удовлетворять сигнатурным условиям. В обратном методе решения уравнений Эйнштейна задаются десять составляющих g^v, а десять составляющих Tiiv находятся из уравнений Эйнштейна, которые представляют собой систему десяти простых алгебраических уравнений относительно Tiiv. Однако величины Tpv, полученные из уравнений Эйнштейна обратным методом, должны удовлетворять физическим требованиям, допускать физическую интерпретацию: р > 0, р > 0, Эр/Эр > 0 и т.д. Поэтому обратный метод решения уравнений Эйнштейна при всей своей простоте наталкивается на определенные трудности, связанные с физической интерпретацией полученных величин Tiiv. Возможен также другой метод решения уравнений Эйнштейна, представляющий собой некоторое объединение первых двух методов: на двадцать величин g^vt Tilv накладываются десять ограничений, из них п ограничений (1 < п < 10) накладываются на Tiivi 10 — п ограничений - на g?V9 оставшиеся десять составляющих Tiiv и Ziiv находятся из уравнений Эйнштейна. Такой метод решения уравнений Эйнштейна мы называем полуобратным методом. В зависимости от поставленной задачи можно выбрать тот или иной вариант полуобратного метода.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 89 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed