Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
(а)
d,... пробегают значения 1, 2, 3. Величины et определены соотноше-<*> * * <*> .
ниями е* еК = Sf9 6і €1 - bah. Для каждого из девяти типов веса) (Ь) щественных неизоморфных структур (следовательно, для каждого из
(а)
девяти типов ПО-полей тяготения ) 6j можно выбрать так, чтобы структурные постоянные С%с из соотношений Э («О Ъ («О - (Ь) (С)
TT е* ~ TT ** = Сьс еі еь
Ъх Ъх1
совпадали со структурными постоянными C^c данной группы G3, для которой
І* ~~т - Sk Л" = cIcSi
(с) Ъх (Ъ) (М Ъхк (с) (а)
Исследованию пространственно однородных метрик, удовлетворяющих уравнениям Эйнштейна, посвящено большое число работ. Как известно, уравнения Эйнштейна для ПО-метрик в синхронной системе отсчета сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве тензора энергии-импульса среды чаще всего принимается тензор энергии-импульса идеальной среды:
т ( ^ pA X Ро
T?v =I Poo + -Tf JUflUv + — g?v,
(4)
где Po о» Po - соответственно плотность и истинное давление среды в сопутствующей системе отсчета, u? — компоненты скорости движения среды относительно данной системы отсчета. В космологических задачах нас прежде всего интересует поведение среды - ее плотность, деформация,
219 вращение и т.д. Решение уравнений Эйнштейна в сопутствующих, вообще говоря несинхронных, системах отсчета представляет собой существенно более сложную задачу, чем их решение в синхронных системах отсчета. Поэтому часто уравнения Эйнштейна решают в синхронной системе отсчета, а затем, используя формулы перехода от синхронной системы отсчета к сопутствующей, вычисляют величины в сопутствующей системе отсчета. Однако нахождение формул перехода от данной синхронной системы отсчета к сопутствующей также представляет собой достаточно трудную задачу, особенно в сложных случаях. Для вычисления ХИ-скаляров в сопутствующей системе отсчета мы воспользуемся ортометрической формой монадного формализма. Решения уравнений Эйнштейна в синхронной системе отсчета мы будем считать известными для всех девяти типов пространственно однородных метрик с тензором знергии-импульса (4). При этом компоненты u? скорости движения среды относительно данной синхронной системы отсчета имеют следующий вид:
(а)
U0 = "o(0, Ui = Hait) et .
В качестве поля монад выберем поле скоростей движения среды относительно синхронной системы отсчета, в которой будем считать известными решения уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса (4) для ПО-метрик. По этим известным решениям, найденным в синхронной системе отсчета, составим ортометрические инварианты для ПО-полей тяготения. Ортометрические инварианты являются четырехмерными инвариантами, поэтому они не зависят от выбора системы отсчета. Поскольку в ортометрической форме монадного формализма при Ь1 = О пространственные составляющие ортометрического тензора образуют ХИ-тензор, то при нашем выборе поля монад ортометрические инварианты совпадают с одно* именными ХИ-скалярами в системе отсчета, сопутствующей среде. Таким образом, зная решения уравнений Эйнштейна в одной (синхронной) системе отсчета, можем найти без использования формул перехода ХИ-скаляры в сопутствующей системе отсчета.
При нашем выборе поля монад b? b? = u?; для ПО-метрик имеем
Ь0 =л°(0, b* = na(t) е1, (а)
(а)
bo ="o(0, bi = na(t)ei.
(a)
Введем четырехмерные величины еа , еа следующим образом:
(а)
(а) (а) (а) (О) (О)
€i = Єі 9 60 = Є0 =0, Є/ = Є1 =1, Є0 = Є0 = 1, (а) (0) (0)
D
еа ев =
(Ь) " (а)
("Реперные" индексы a, b, с, d,... пробегают значения 0, 1,2,3). Тогда ортометрический фундаментальный тензор (см. гл. 15) h?V = g?V + b?bv
220 для ПО-метрик можно представить в виде (a)(b)
V = h a Ь (о eM h?V =h а W '
(а) (Ь)
ЬаЪ=ЧаЪ+папЪ> ^l0a=Yl0Yla, Tz00 = +/72,
(a)(b) Siiv ед Єу
Too = -I, Toa=0-
>?v їдь cM >
"Реперные" индексы a, Ь9 сГ,... ортометрических величин передвигаются с помощью 7-координатные индексы а, ?,... ортометрических величин передвигаются с помощью ha?.
Введем четырехмерные структурные константы Cc- - = -С
'.Ъ а '
« я / э ?) Э
Сспь = Ca e? ( - еа--ев).
•аь (J)(F)Vdx" Эха 0J
Тогда C0-- = 0, Cq- = 0, C^b совпадают с обычными трехмерными структурными константами для ПО-метрик.
При нашем выборе поля монад после несложных, но громоздких вычислений для ПО-полей тяготения получим следующие выражения для ортометрического вектора гравитационно-инерциальной силы Fv9 ортометрических тензоров угловой скорости вращения ортометрического пространства Afiv9 скоростей его деформации Diiv и D = Dvv'. (ь)
Fv=F s(t) €Vf
Ъп-
Эи-
bxL
Ъп-\ - - Л
- + Yl-YlaC0-Z
-I с .ab
Ъха /
(а)(Ъ)
= Aab W 6M Є" '
Aab 2
Ьп-
Ъп
+Yl-C
bxL
Ъхй
.а Ъ
- п-п
+H-YIQ а
Dfiv = ^
bna
Ъх1
Ъп,
Ъх°
+ n-n-nd Cc-T
ас .ab
cD
а Ь
1 -
-Frn-
с Ь а
. 4(5") (b)
abj eM Є» '
Dab^ = С?ІГЇ - ^ad »CCd^ - 1^,-,- «CCd-
9TjJ -
1A-
nd - Ъ
97
bd
cb 'bd . с а
