Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зельманов А.Л. -> "Элементы общей теории относительности" -> 80

Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.

Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности — М.: Наука , 1989. — 240 c.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка): elementiobsheyteoriiotnositelnosti1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 89 >> Следующая


тк +

216 Варьируя уравнения поля тяготения Эйнштейна, разрешенные относительно свернутого мирового тензора кривизны, находим

*Э2т? *Эе *dD / „ 1 Л

-- + D- + 2е- + S[DnDlt - A11A1'--- FiF' )+

dt2 dt dt V " " с2 ' )

, *Эч , 1 /*э \ . к

+ * ViSFi +-F1' + - M — + DJFi = - - (аре2 +SU);

dx{ с \dt / 2

1*3D „ *bD

*ViSD + - --2jj ^--* VMD* + А") -

с dt эхI

- (D'l + A") D)(D« + A1!) -dx> с '\dt /

2

- e'n(Dil + A1') + -S(FiA1I) = KSJi-,

+ Dik^- + + S [-(Dil + Ati) (D'k +A-f) +

Ol Ol Ol

+ DDik - DiiDlk + 3Aif AkI - c2 Cik] - B^F, +

1 / *dF. *bF,\ 1 Г/ 1 \

+ (• Vfc - j Fk)eFf] = ^ [2(pc2 - U)nik +

+ (ope2 -bU)hik +IbUik] +IAc2Tiik.

Наконец, отметем, что операции перемещения координатных индексов и варьирования не коммутативны:

SQi' = hibhl'SQ* + 2TiikQki - Irf1Qix.

Синхронность системы координат означает, что g0o = ?<>і = ^P11 этом условия того, что варьирование не нарушает синхронного характера системы координат, могут быть представлены в виде е = 0, Iji = 0.

Условия синхронности неварьированной системы отсчета можно записать в виде F1- =0, Aik = 0. При этом условия того, что варьирование не нарушает синхронного характера системы отсчета, могут быть представлены в виде 6 F1- = 0, 6Aik = 0.

Условия того, что неварьированная система отсчета сопутствует массе, имеют вид Jk = 0. При этом условие того, что варьирование не нарушает сопутствующего характера системы отсчета, можно представить, в виде Uk = 0.

217 § 3. Ортометрические инварианты пространственно однородных полей тяготения

Нахождение точных решений уравнений тяготения Эйнштейна в общем случае сопряжено с большими математическими трудностями, поэтому приходится делать упрощающие предположения, которые позволяют решить уравнения поля тяготения. Одним из упрощающих предположений является предположение однородности пространства. Понятие однородности пространства можно ввести по-разному. В литературе были сформулированы два критерия пространственной однородности (ПО): дифференциальный и групповой. Дифференциальный критерий является непосредственным обобщением критерия однородности, принятого в нерелятивистской физике, но с учетом возможной неоднозначности в выборе временной координаты. Этот ПО-критерий был рассмотрен в § 1 Приложения. Групповой ПО-критерий, который мы здесь рассмотрим, основан на существовании непрерьюной группы преобразований специального вида, а именно группы движений.

Возьмем в римановом многообразии произвольную точку с координатами х° и произведем бесконечно малое смещение вдоль вектора ?а на величину dt:

X0^x0' =ха +%°dt. (1)

Говорят, что риманово многообразие допускает движение (подвижно) вдоль векторного поля если составляющие метрического тензора g'?V(xa')9 полученные при смещении (1), будут теми же функциями ho-зд>іх независимых переменных х01' что и первоначальные составляющие ga? (хм) переменных xм.

Таким образом,

ga?(x»)dx«'dx?' = ga?(x»)dx«dx?.

Все движения данной метрики образуют группу, которая называется группой движения. Оказывается, для того чтобы риманово многообразие допускало движение вдоль векторного поля ?а, векторное поле должно удовлетворять уравнениям

Юм + «Д = 0, (2)

где (Sa)jl — ковариантная производная вектора Sa по x?• Уравнения (2) назьюаются уравнениями Киллинга, а векторное поле ?а, удовлетворяющее уравнениям Киллинга, - вектором Киллинга. Однако не для всякого риманова многообразия существует решение уравнений Киллинга, значит, не всякое риманово многообразие допускает движение. Если риманово многообразие допускает движение, позволяющее преобразованием (1) перевести его произвольную точку xa в любую другую точку окрестности xff, то оно называется однородным. Заметим, что в многообразии, допускающем группу движений, зная компоненты метрического тензора в одной точке, можно найти g?V во всех точках. Если любые две точки многообразия могут быть переведены друг в друга некотороым преобразованием группы, то группа назьюается транзитивной.

218 Итак, согласно групповому критерию метрика называется пространственно однородной, если она допускает трехпараметрическую группу движений G3, действующую транзитивно на про стран ственнопо до бных трехмерных гиперповерхностях.

Метрики, удовлетворяющие указанным требованиям, известны. Оказывается, трехмерные сечения, на которых осуществляется однородность, геодезически параллельны, т.е. близкие сечения везде отстоят друг от друга на одинаковое расстояние. Поэтому обычно выбирают полугеодезическую (синхронную) систему координат, в ней гиперповерхности транзитивности имеют уравнение х° = const, а каждая компонента векторов Киллинга Si является самое большее функцией X1t X2t х3. Тогда, как известно, метрики, полученные в результате интегрирования уравнений Киллинга, могут быть записаны в виде

ds2 = -dx°2 +gikdx(dxk = -с2dt2 + yab ^ ^e^dx^x*. (3)

Здесь yab — произвольные функции от f, е' — векторы Киллинга

(а)

группы G3, взаимной с данной группой G3. "Реперные" индексы а, Ь, с,
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 89 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed