Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = —с2dt2 + dfj(t) dx'dx1] (32)
R2(t) (dx12 +dx2* + dx3*) [1 + 1 /4к(х1* +x2* +x3')]2
о о о і* R2VXdx2* +dx3*)
ds2 = - с dt + a2 (t) dx1 +-—-;-{- . (34)
[h-1ak(x2 +x3 )]2
Здесь afj(t\ a(t), R(t) - произвольные функции от t, к = ±1.
ds2 = -с2dt2 + г< . t;;,t2 . 2а-ІТ-Т^; (33)
210 Можно показать, что невращающаяся система отсчета, в которой выполняются условия (31), свободно падает в каждой своей точке (Fi =0) и, как легко видеть из (13.30), сопутствует массе (J1 = 0).
Рассмотрим неголономные однородные пространства, т.е. пространства с вращением (Aik Ф 0), метрика которых в некоторой системе отсчета удовлетворяет условиям (31). Как было отмечено выше, все однородные ХИ-скаляры в этих пространствах постоянны и не зависят от всех четырех координат. Предварительно докажем важную для этих пространств теорему.
Теорема. Объем элемента пространства вращающейся системы отсчета не меняется с течением времени (D = 0), если в этой системе отсчета *VjAik = 0, *V7 Fi = 0.
Доказательство. Свертывая индексы і =l,k = m в равенстве
2Л *ЪА^т
Cvrvk-'V^VMlm = -T -UikhlA"" ^HlklmA",
С Ot
с учетом *'V7- Aik = 0 имеем IAik *ЬАік
-Г T- - Щк Ajk=V. (35)
с1 bt
В силу однородности и наличия вращения AikAlk = const Ф 0. При *V7- Fi =
*ЬАік *д ..
= 0 согласно (13.12) —- =0, следовательно, —(AikA ) =AikX
ot Э t
*ЪА*к
X - =0. Тогда из (35) следует равенство HjkAik=O. Согласно
bt
(13.19)
1 1 Нік = Cjk + — (AklD) +AnD1k +AkjD) = Sjk + — AkjDi с с
где Sjk — симметричная часть Hjk. Тогда из HjkAik = 0 следует равенство
Ajk A jkD = 0, откуда в силу наличия вращения D = 0. Теорема доказана.
С учетом (31), сигнатурных условий, доказанной теоремы и используя произвол в преобразованиях координат, не меняющих систему отсчета, можно придти к следующему выводу :
Всякая метрика пространства-времени, пространство которого удовлетворяет условиям (31) в некоторой вращающейся системе отсчета, определяется величинами, приводимыми выбором системы координат в данной системе отсчета с учетом сигнатурных условий к одному из следующих видов.
Случай Fi Ф 0.
ds2 =-c2dt2 + du2,
cdT = —goot dxa/y/— g00i du2 =hikdxidxki Ai i=M2x°2 + 1, H11 = Xi A33 = l> Лі2=0*°, h13=ocx°y H1 з=0, 1
^oi = (fx + 2сох2), ?о2 =Soз =0, goo = -1,
с
где OLi ?9 IXi f, CO - некоторые постоянные,/^ 0, СО Ф 0, OL2 + ?2 =Il2.
10* 211 Случай F1- = 0. Lds2 = -C2 dr2 -Ydu2i
Cdr= -g0adxa/y/-g00, du2 = hikdxldxky Au = в2 [A cos(2rt) + 1], A22 = — [Л cos(2rt) — 1], Лз з = 1, hx 2 = є A sin (2rr), A2 3 = ? sin (rt) — oc cos (гґ), Ai3 = e [a sin (rt) + ? cos (rf)], g0o = -1,
с Эе
где Л, a, ?, г, со - некоторые постоянные, г Ф 0, со Ф О, \А \ < 1, a2 +?2 < < 2, (1 - А2) — ?2 (1 - А) -2а2 (1 + А) >0; функция е = 6(*1,х2) удовлетворяет уравнению Э2е/Эх2 = ке, ? = — 2ru>mjc2, m = [(1 — Л2) — -02 (1-Л) -с^О+Л)]1/2. 2. ds2 =-^dr2-Ydu2i
cdr= —goa dxaly/-g00i du2 = hikdx' dxk, A11 = e2 [A ch(2rf) + 1], A22 = ЛсЬ(2гґ)- 1, Ai2 = —єА sh(2rt), A23 = a ch(rt) —?sh(rt), A13 =e[-ash(rr) + 0ch(rr)], A33 = 1,
где Af OLi ?, г, со — некоторые постоянные, Г =Jt 0, СО Ф О, M I > 1, ?2 — OL2 < < 2, (Л2 - 1) - ?2 (А - 1) - а2 (А '+ 1) > 0; функция е = е(х1, х2) удовлетворяет уравнению Э2е/Эх22 = ке, А: = 2rcom/c2, m = [(Л2 — 1) — -02(Л-1) -0^(,4 + 1)]1/2.
3. ds2 = -c2dj2 +du2,
Cdr= -g0adxa/\/-g00i du2 =hikdxidxk, Ац = [гО4аґ + 20)-Лє]2 +4a2r2 + 1, Ai2 = Лґ[ґ(Лаґ + 20)-Лє] + 2аґ, A22 = Л2ґ2 + 1, Ai3 = t(Aoct-Y2?)-Aei h23 =Aty A33 = I, goo = -l,
gol = -2 cox2/с, ?o2 = ?оз =0
где e = сох2 /с; Л, a, /3, со — некоторые постоянные, соФО.
Метрики однородных пространств с вращением найдены без использования уравнений Эйнштейна, исходя только из условий (31) и сигнатурных условий. Анализ вопроса о совместимости найденных метрик с уравнениями тяготения Эйнштейна показывает, что не все такие пространства удовлетворяют уравнениям тяготения Эйнштейна, содержащим тензор энергии-импульса идеальной среды
(36)
212 Однако существует широкий класс таких пространств, удовлетворяющих как уравнениям тяготения Эйнштейна с T?V вида (36) (или T?V = 0), так и условиям (31). Приведем метрики этих пространств. Линейные элементы ds2 однородных пространств с вращением, удовлетворяющих уравнениям тяготения Эйнштейна для идеальной среды, имеют вид
2 2С Эе n t с2/Ъе\2 l2
1°. ds = — dx +---dx°dxx - — [—) dxl2 +
г Ъх2 г2 \ Ъх2 /
+ є2[A cos(Irt) + 1 ]dx12 + IeA sin (2rt)dx1 dx2 +
+ [1 -Acos(2rt)]dx22 +dx32,
где C=N1 (x1 +Ыг(х1)ек*х\к0 = Г-\[2ЛА\<\,г2 = co2 (1 - A2) =
C
= (poo + ^Poo - ^ = -2A, N1 (X1)iN2 (xl) - произволь-
нее функции OT X1 .
Заметим, что эта метрика при А = 0, р0 = О, N2 = 0, TVr1 = const переходит в известную космологическую модель Гёделя и является ее наиболее полным обобщением в классе пространств, удовлетворяющих условиям (31).
2 2 у/2со
2°. ds2 = -dx° - —-(х° +y/2x2)dx°dx1 +
с
2 со2
+ dx12 - -^r-(x0 +y/Tx2)2dxl2 +dx22 +dxз2, с2
где 4 со2 = к(р00с2 + Po), к(Роо - Pole2) = -2A, со = const.
