Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
209 Icc2 = 0, ±с2. При полной изотропии правая часть (27) и второй член левой части (28) тождественно равны нулю, S сохраняет свое начальное значение, и, опустив звездочки, мы получим хорошо известные уравнения для моделей (23) в теории изотропной однородной Вселенной. Уравнения (5), (7) и (9) для изотропных однородных космологических моделей (23) превращаются в тождества. В теории изотропной однородной Вселенной, таким образом, двух уравнений — (28) и (29) — из десяти уравнений тяготения Эйнштейна при некоторых добавочных физических предположениях достаточно для выяснения возможных типов поведения R с течением времени. В общем случае также можно выяснить допустимые уравнениями (28) и (29) типы поведения Ri помня, однако, что некоторые из них при рассмотрении всей системы десяти уравнений тяготения могут оказаться невозможными. Поступая таким образом, мы очевидно, становимся на путь постепенного сужения круга мыслимых возможностей. Однако в некоторой четырехмерной области на основе полуобратного метода (см. § 4 Приложения) можно показать, что остальные уравнения тяготения Эйнштейна не накладывают дополнительных ограничений на масштабный фактор.
С космологической и космогонической точек зрения наибольший интерес представляют вопросы о возможности и условиях а) типа O2i т.е. ос-циллирования между регулярными экстремумами R с конечными значениями плотности ("осциллирование второго рода") или хотя бы лишь б) регулярного минимума R с конечным значением плотности. Представляет интерес также вопрос о возможности и условиях в) ускоренного возрастания Ri поскольку оно, при данной скорости расширения Метагалактики в настоящее время, приводит к удлинению протекшей части эпохи расширения, или, короче, к удлинению шкалы времени. Для изотропных однородных моделей (23) в предположениях
9P
О < рс2 >3р>0, — < О,
ЭR
как известно, а) невозможно, а б) и в) возможны лишь при положительной космологической постоянной А.
Пусть космологическая постоянная А равна нулю. Тогда из (25) — (29) находим, что если абсолютное вращение отсутствует, а неравенство (13) не выполняется (например, если силовое поле также отсутствует), то невозможны в) и б), а следовательно, и а). Возрастание R либо монотонно и при т неограниченно, либо продолжается до регулярного максимума и сменяется убыванием. Если к тому же отсутствует вязкость и поток энергии, то началом возрастания и концом убывания R служит так называемое особое состояние, в котором плотность и скорость изменения R бесконечны, - мы получаем те же два типа поведения, что и при (23) : Mx ("монотонное изменение первого рода") и Ox ("осциллирование первого рода"). При этом анизотропия деформации приводит к большему замедлению расширения и, следовательно, к сокращению шкалы времени. Таким образом, если иметь в виду вопросы об ускоренном расширении, о регулярных минимумах и об осциллировании второго рода, то наибольший интерес представляет учет силового поля и абсолютного вращения. Если
14. A.JI. Зельманов
209 иметь в виду вопрос об иррегулярных минимумах без особых состояний, то представляет интерес также учет вязкости и потока энергии.
Рассмотрим однородные, но, вообще говоря, анизотропные пространства. Дифференциальный критерий пространственной однородности, требуя однородности полей Fii Aiki Diki Ciki р, р, Uiki Ji , предполагает определенную связь между полями, характеризующими трехмерное пространство, и полями, характеризующими распределение и движение материи в этом пространстве. Однако можно потребовать только однородность полей, характеризующих трехмерное пространство, — силового поля Fii абсолютного вращения A ik, деформации Dik и кривизны Cik:
'VjFi = 0, •VfAik =0, 'VjDik = 0, 'VjCik =0. (31)
Затем, исходя только из условий однородности этих полей, можно определить класс пространств, удовлетворяющих (31). Очевидно, класс таких пространств является более широким, чем класс пространств, удовлетворяющих дифференциальному критерию однородности (1), и включает в себя последний как частный случай. Определим без использования уравнения тяготения Эйнштейна все линейные элементы ds2 = g?vdx?dxv пространства — времени, пространство которого в некоторой системе отсчета удовлетворяет условиям (31).
Применяя коммутационное соотношение (13.9) к отличному от нуля ХИ-скаляру v^, пространственно однородному ('дФ/дх1 = 0), получим равенство Aik 'ЬФ/dt = 0, выполнение которого возможно в двух случаях: а) пространство голономно (Aik = 0), б) пространство неголономно (Afk Ф 0), но 'd^jdt = 0. В случае б) все однородные ХИ-скаляры не зависят от времени, тогда они не зависят и от пространственных координат. Действительно,
Э* goi Э* Э*
0= -г = — -
дх1 дх' Cg0 о dt дх1
Рассмотрим голономные однородные пространства, т.е. однородные пространства без вращения. Как показал JI.11. Грищук (Астрон. журн. -1967. — т. 44, N0 5. — С. 1017), голономное однородное пространство является либо пространством постоянной нулевой кривизны, либо пространством постоянной ненулевой кривизны, либо приводимым пространством. Всякая метрика пространства-времени без вращения, пространство которого в некоторой системе отсчета удовлетворяет условиям (31), выбором системы координат в этой системе отсчета может быть приведена к одному из следующих видов:
