Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Как же можно интерпретировать силы тяготения с точки зрения геометрии четырехмерного мира?
Согласно принципу физической эквивалентности Эйнштейна система отсчета, движущаяся поступательно с ускорением, физически эквивалентна системе отсчета, покоящейся в однородном гравитационном поле. Следовательно, силы тяготения, действующие в однородном гравитационном поле, физически эквивалентны силам инерции, действующим в системе отсчета, движущейся поступательно с ускорением. Стало быть, в системе отсчета, покоящейся в однородном гравитационном поле, линии времени кривые, и силы тяготения в ней есть одно из проявлений кривизны линий времени. Любое гравитационное поле, вообще говоря, неоднородное, в бесконечно малой области с достаточной степенью точности можно рассматривать как однородное, и в этой области в силу принципа физической эквивалентности Эйнштейна его с той же степенью точности можно устранить соответствующим выбором системы отсчета (соответствующим выбором пространственно-временных координат). Однако в любой конечной области неоднородное гравитационное поле, в отличие от однородного, нельзя устранить никаким выбором пространственно-временных координат. Если однородное гравитационное поле можно рассматривать как проявление кривизны пространственно-временных координат, устранимой в любой заданной области пространства-времени (где гравитационное поле однородно) соответствующим их выбором, то произвольное, неоднородное гравитационное поле можно рассматривать как проявление кривизны пространства-времени, которую в любой конечной области пространства-времени никакими преобразованиями пространственно-временных координат устранить нельзя.
§ 10.7. Метрика пространства-времени
Какова же метрика пространства-времени, в котором существует гравитационное поле?
В однородном гравитационном поле всегда можно выбрать систему отсчета, не имеющую сил инерции и сил тяготения, - жесткую систему отсчета, которая в данном однородном гравитационном поле в каждой своей точке свободно падает. Но такая система отсчета физически эквивалентна инерциальной системе отсчета, абсолютно покоящейся или движущейся равномерно в отсутствие гравитационного поля, линии времени которой суть параллельные прямые. Таким образом, приходим к следующему выводу. В области пространства-времени, в которой существует однородное гравитационное поле, всегда существует система отсчета, физически эквивалентная инерциальной системе отсчета, линии времени которой параллельные прямые, а пространственные сечения — гиперплоскости (сверхплоскости); следовательно, метрика пространства-времени в этой области галилеева.
Если гравитационное поле неоднородно, то не существует жесткой системы отсчета, которая в этом поле падала бы свободно во всех своих точках. (Система отсчета может падать свободно только в одной своей 100 точке, однако в достаточно малой области, окружающей эту точку, результирующая гравитационно-инерциальная сила достаточно мала.)
Итак, в области пространства-времени, в которой действует неоднородное гравитационное поле, не существует такой системы отсчета, линии времени которой были бы параллельными прямыми, а пространственные сечения — плоскими. Следовательно, в этой области метрика пространства-времени не может быть галилеевой.
Особо подчеркнем, что вывод о гравитационном поле как проявлении кривизны пространства-времени и вывод о негалилеевости метрики прост-ранства-времени с неоднородным гравитационным полем суть следствия не только принципа физической эквивалентности Эйнштейна, но и его локального характера.
Естественно возникает вопрос: если метрика пространства-времени с неоднородным гравитационным полем не может быть галилеевой, то какой она может быть? Самая близкая и обобщающая метрика - это риманова, точнее, псевдориманова, метрика. Не нужно идти на более сложное обобщение, если можно обойтись более простым. Приведем некоторые аргументы в пользу псевдориманова характера метрики: а) четырехмерное пространство-время должно быть метрическим, так как оно является обобщением галилеева пространства-времени (пространства-времени специальной теории относительности), которое является метрическим, и в достаточно малой области четырехмерного пространства-времени метрику можно считать галилеевой; б) это четырехмерное пространство-время не может быть собственно римановым, а должно быть псевдоримановым, как обобщение псевдоевклидова пространства-времени специальной теории относительности.
Достаточно ли псевдоримановости метрики пространства-времени? Рассмотрим этот вопрос подробнее. Гравитационное поле представляет софой проявление кривизны пространства-времени, метрика которого описывается фундаментальным тензором g?V. В четырехмерном пространстве-времени составляющих фундаментального тензора g ^v всего десять, а в ньютоновой гравитационной теории тяготение описывается лишь одной величиной - гравитационным потенциалом. Не слишком ли много десять величин в общей теории относительности "против" одной величины в ньютоновой гравитационной теории?
