Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
~ ~ X-Vt t = t, X = - ,
V 1 - V2Zc2
то перешли бы к системе отсчета K2, у которой пространственные сечения совпадают с пространственными сечениями системы отсчета K1. Однако при этом пространственные сечения системы отсчета K2 будут неортогональны к линиям времени этой системы отсчета. Что же достигается формулой преобразования
^ t — vx/c2 t =--— ?
С помощью этой формулы мы выбираем пространственные сечения, всюду
94 ортогональные к линиям времени. Таким образом, в преобразовании Лоренца временную координату мы преобразуем для того, чтобы восстановить нарушенную ортогональность пространственных сечений к линиям времени, вызванную переходом от одних линий времени к другим.
Аналогично в системах отсчета Мёллера и Робертсона преобразованием временной координаты выбираются пространственные сечения, всюду ортогональные к линиям времени. Для вращающейся системы отсчета временную координату мы не преобразовывали, поскольку можно доказать, что линии времени вращающейся системы отсчета таковы, что не существует пространственных сечений, всюду к ним ортогональных.
§ 10.5. Линии времени и пространственные сечения неинерциальных систем отсчета
Рассмотрим уже знакомые нам три неинерциальные системы отсчета и выясним, каковы их линии времени и пространственные сечения. Уравнения линий времени и пространственных сечений будем искать в координатах инерциальной системы отсчета. Это связано с тем, что геометрический образ легче всего рассматривать в координатах инерциальной системы отсчета.
1. Система отсчета Мёллера. Уравнения линий времени системы отсчета Мёллера имеют вид
X = const, у = const, z = const.
Какой же вид имеют эти уравнения в координатах инерциальной системы отсчета? Пользуясь равенством ch2x — sh2x = 1, из первых двух равенств (10.7) исключим временную координату t:
(* + с2/а)2 -C2I2 = (je + с2/а)2.
Поскольку вдоль линий времени X = const, то уравнения линий времени системы отсчета Мёллера в координатах инерциальной системы отсчета могут быть записаны в виде
(X + с2Ia)2 - C2 t2 = const > 0,
у = const, z = const.
Эти равенства представляют собой уравнение гиперболы. Значит, линии времени системы отсчета Мёллера суть гиперболы.
Что же представляют собой просгранственные сечения системы отсчета Мёллера? Пространственные сечения определяются уравнением t = const. Из первых двух равенств (10.7) легко получим
с t at - = th — = const.
Ic + с2/а с
Таким образом, уравнение пространственных сечений системы отсчета
95 Мёллера в координатах инерциальной системы отсчета имеет вид
ct- const - ( X + с2/а).
Это уравнение плоскости, следовательно, пространственные сечения системы отсчета Меллера не кривые, а плоские, причем все эти плоскости проходят через центр гипербол - линий времени, т.е. точку (0, —с2/а9 0, 0) (см. рис. 10). Область, заштрихованная на рис. 10, это та область, в которой преобразование Мёллера переходит в нерелятивистское преобразование инерциальной системы отсчета в равномерно ускоренную систему отсчета. Линии времени и пространственные сечения системы отсчета Мёллера ортогональны, так как в выражении для ds2 нет смешанных членов, однако на рис. 10 линии времени и пространственные сечения пересекаются не под прямым углом. Так получилось потому, что на плоскости с дефинитной метрикой мы изобразили область с индефинитной метрикой.
96 2. Вращающаяся система отсчета. Линии времени вращающейся системы отсчета определяются уравнениями z = const, г = const, = const, которые в координатах инерциальной системы отсчета приобретают вид
Z = const, г = const, !і? - cSt = const. Эти уравнения описывают винтовую линию, так как координаты инерциальной системы отсчета цилиндрические. Таким образом, линии времени вращающейся системы отсчета представляют собой винтовые линии (рис. 11).
Пространственные сечения вращающейся системы отсчета определяются уравнением t = const или в координатах инерциальной системы отсчета
уравнением t = const. Таким образом, пространственные сечения вращающейся системы отсчета суть плоскости, но в отличие от системы отсчета Мёллера они не ортогональны к линиям времени.
3. Система отсчета Робертсона. Линии времени системы отсчета Робертсона определяются уравнениями х = const, в = const, = const, которые в координатах инерциальной системы отсчета приобретают вид T = = const -сТ, W = const, (p = const. Таким образом, линии времени системы отсчета Робертсона суть прямые, причем все эти прямые проходят через одну точку. Выясним, через какую точку они проходят. Из первых двух равенств (10.11) легко получим соотношение Tj(сТ) =thx, но I th х I ^ <1, следовательно, линии времени представляют собой пучок прямых линий, проходящих через начало координат (рис. 12).
Что же представляют собой пространственные сечения системы отсчета Робертсона? Они определяются уравнением t = const. Из первых двух равенств (10.11) легко получить соотношение с2 t 2-T2 =C212. Таким образом, уравнение пространственных сечений системы отсчета Робертсона в координатах инерциальной системы отсчета имеет вид с2 t2 -F2 = = const. Это уравнение описывает семейство гиперболоидов, следовательно, пространственные сечения системы отсчета Робертсона представляют собой гиперболоиды (рис. 12). В этой системе отсчета, как и в системе отсчета Мёллера, пространственные сечения всюду ортогональны к линиям времени.
