Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Термодинамика излучения
Выражение для плотности энергии излучения имеет вид
2 ?cp.tap.dp
8- (2яhf) ecp?T_i > [О.ЛЛ)
о
где р — импульс кванта. Производя интегрирование, получаем
Jt2Zc4
15Й3с3
•-таг Ti = (8.2.2)
Приводим численное выражение, е эрг!см3, в зависимости от T в различных единицах,
в = 7,57-IO-15T74(eK) = 7,57-IO21Tt94 = 1,37-Г4 (эв),
где Tt9 = TfiO9 °К. При этом давление
P = 8/3.
Энтропия единицы объема
= (8-2-3)
(заметим, что размерность энтропии эрг/см3-град, так что Sy зависит от того, в каких единицах выражена температура).
В технической литературе принято было обозначать через о коэффициент в выражении потока энергии (а не ее плотности) в поле равновесного излучения; мы этот коэффициент обозначим через а. Итак,.
q эрг/см*-сек = аТ4 = ^e= бГ4, а = 5,7-IO"5 эрг/см2-сек-град*.
(8.2.4)
*) Эти рассуждения указывают на принципиальную возможность сущест-рования двух решений. Подробно ситуация разбирается в следующем разделе, 242
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
[ГЛ. 8
Ниже мы рассмотрим плазму, находящуюся в равновесии с излучением. В широкой области температур и плотностей, энергией и энтропией атомов, ионов и электронов, составляющих плазму, можно пренебречь, однако плотность массы среды целиком определяется именно плотностью плазмы.
Выведем сначала термодинамические соотношения, справедливые в этой области T и р, а затем найдем точные условия, которым должны удовлетворять Гир для справедливости этих соотношений. Таким образом, получим удельные (на один грамм) величины
^=-NP- (М-Ч
При адиабатическом сжатии S = const находим
'-(?¦)*. <8-2-б>
Таким образом, показатель адиабаты у = 4/3 для вещества, главный вклад в энергию которого вносит излучение.
Отметим, что число квантов в единице объема дается выражением
»•'- (Sa? = ".244(jW)'-2ОТ»<°к>- <8-2-7>
О
откуда средняя энергия, приходящаяся на один квант, будет
Ш = 2,7 кТ.
Число квантов на один грамм плазмы пропорционально T3Ip9 т. е. пропорционально удельной энтропии. Это обстоятельство подробно анализируется в § 5 этой главы.
Сравним энергию и давление излучения с энергией и давлением плазмы. Принято обозначать через ? отношение давления плазмы к полному давлению
RT9
P--TjxW- (8-2-8)
Для полностью ионизованного водорода найдем, что (3 = 0,5 при ^ = if = 6,6.10». ТЕРМОДИНАМИКА ИЗЛУЧЕНИЯ
Таким образом, связь между плотностью и температурой 2\/г, при которой ? = V2, дается выражением
T42 = 4-Ю7 р1/..
Удобно преобразовать выражение для ? к виду
Заметим, что при ?=0,5 давление плазмы и излучения равны, но при этом энергия излучения вдвое больше энергии плазмы. Однако дополнительная плотность массы, связанная по принципу эквивалентности с энергией Ap = г/с2, составляет долю плотности массы покоя плазмы, даваемую выражением
^L = JL e W = ю- Zl = у. (8.2.10)
Po P0C2 PoC2 Po \109р*л / v
Таким образом, существует широкая область, в которой энергия излучения сравнима или даже больше энергии плазмы, но плотность массы излучения весьма мала по сравнению с плотностью массы покоя плазмы. При больших температурах следует принимать во внимание увеличение полной плотности Pt = P0 + Ap по сравнению с р0. Однако в типичных случаях релятивистских звездных моделей разность Ap — лишь одна из нескольких релятивистских поправок, которые имеют одинаковый порядок величины.
Отметим особо, что каждому определенному значению ? отвечает определенное отношение Т3/р, а следовательно, и определенное
P ^ 1 аГ* . RT R 3/ЗЖГГМ4 + JLl = pVs 3 р</з + ^pVs - р Y рв [\Т1/я) nrT4J
Как уже отмечалось (см. стр. 240), отношение Р/р4/3 непосредственно зависит от массы звезды. Подробно об этом см. § 2 гл. 10, однако уже здесь полезно дать представление о роли давления излучения и давления плазмы в звездах различной массы.
В последней строке табл. VI даны значения показателя адиабаты у, определенного по изэнтропической зависимости давления от плотности. Очевидно, что у зависит только от ?. Нетрудно получить формулу для полностью ионизованной плазмы,
(8.2.9) 244
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
[ГЛ. 8
Таблица VI
Зависимость р и у от массы однородной звезды из водорода (fx = 0,5)
и железа (fx== 56/27)
? 1 0,9 0,8 0,5 0,3 0,2 0,1 0
M (|i = 0,5) 0 5,7. IO34 1,0.1035 4 д. 1035 1,4.1036 3,2-1038 1,4.1037 OO
М([х=56/27) 0 3,3.1033 5,9-IO33 2,4.1034 7,9-1034 1,9.1035 7,80.1035 OO
5 4,687 4,533 4,278 4,158 4,103 4,05 4
T 3 3 3 3 3 3 3 3
по которой и вычислены приведенные в таблице значения у. Существуют в литературе и другие определения эффективного показателя как величины, характеризующей, например зависимость температура от плотности и т. д., но мы ими пользоваться не будем.
§ 3. Пары и нейтрино
Приводим выражения для равновесной плотности электронов тг_ и позитронов тг+ в виде интегралов
72_ =
п.
АлрЧр
(2 я/г)3
АлрЧр
(2я/г)* ) (Ee+тт ,'
п 6 j-
(8.3.1)
(8.3.2)
здесь Ee = Vr(TweCa)2 + с2р2 » [X— химический потенциал электронов; в выражении (8.3.2) для позитронов уже учтено, что сумма химических потенциалов позитронов и электронов в равновесии равна нулю, поскольку все заряды пары е+, е~ тождественно равны нулю. Само значение |х определяется из условий электронейтральности
