booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зельдович Я.Б. -> "Теория тяготения и эволюция звезд" -> 80

Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.

Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Теория тяготения и эволюция звезд — М.: Наука , 1971. — 486 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatyagoteniya1971.djvuПредыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 200 >> Следующая

~тр-гГ 3 о X2 3 о /Зя2/г3я\7з /с / о\

E - E0 = -5- m^-2- = -J5- теС* ^-J-) . (6.4.2)

Найдем плотность, при которой в этом приближении давление равно нулю. В таком случае должно выполняться равенство

E-E0 =--єеі.

(6.4.3)ОБЛАСТЬ СРЕДНИХ ПЛОТНОСТЕЙ

195

Это соотношение получается из условия

+ =0 (6.4.4)

и выражает теорему вириала. Использованное приближение дает «нормальную плотность» р0, т. е. плотность, которую вещество имеет при P = O, соответствующую

(6.4.5)

0 Jt A2 Jt ао ' v '

где а0 = ^ g^e j = 0,5-IO"8 еле — это «боровский» радиус, радиус

первой орбиты атома водорода в старой квантовой механике Ниль-са Бора.

Соответствующая плотность (-4 — атомный вес) равна

р0 = ITбТГо^ = If 6.IO2V = (6.4.6)

т. е. около 1 для водорода, 300 для магния, 1300 для железа, 16 000 для свинца. Согласие с опытом очень плохое. Причина заключается в том, что расчет был проведен по невозмущенному равномерному распределению электронов. На самом же деле взаимодействие с ядром весьма сильно меняет распределение электронов в пространстве даже при плотностях, намного выше приведенных. Поэтому формула (6.2.15) дает только первые два члена разложения точной зависимости давления от плотности. Разложение проводится по падающим степеням плотности: р6/» — первый член, р4/3 — второй, мы и взяли то р, при котором эти первые два члена равны. Но когда становится существенным второй член, необходим третий, четвертый и т. д., так что необходим иной подход. В 30-х годах была развита приближенная теория, в которой электронный газ с давлением P = а/г5/» рассматривался в электрическом поле ядра и самих электронов. Эта теория получила название теории самосогласованного поля.

Рассматривается распределение электронов внутри элементарной ячейки, которую заменяют шаром радиуса T1 того же объема (см. § 3). Плотность электронов п(г) зависит от радиуса г. Кроме того, рассматривается электростатический потенциал ср (г).

Запишем, во-первых, уравнение Пуассона, дающее зависимость Ф от п (г):

дф = (г) = — 4я [Zeб (г) - en (г)], (6.4.7)

где е = 4,77-10""1° — положительное число, заряд электрона (по модулю), і (г) есть плотность заряда, Величина Zeб (г), где196 ХОЛОДНОЕ ВЕЩЕСТВО ![ГЛ. 6

б, дельта-функция Дирака, описывает точечный заряд ядра в центре ячейки; — еп(г) — заряд электронов, размазанных по ячейке.

Второе уравнение можно записать как условие механического равновесия занятого электронами-элемента объема, на который действуют электростатические силы и силы давления:

I (Г) E - VP (п) = (- пе) (- Vq>) - ^ = 0. (6.4.8)

Когда объемная сила является потенциальной и давление зависит только от плотности (в данном случае эти условия выполнены), уравнение равновесия можно проинтегрировать, поэтому

где К — константа, H — удельная (на один электрон) энтальпия

Cl 1

электронного газа,

H = \ — dP = E + - P (энергию E не следует путать с электрическим полем E).

Примечательно, что H (п) = Ef (тг). В самом деле, для нере-лятивистского газа

= P = n-^-(E-E0) = n-^(EF-E0i),

откуда легко получится с точностью до несущественного слагаемого указанное соотношение между H и Ef. Это соотношение является общим, оно справедливо и в релятивистской области. Окончательно получается уравнение

EF-e<p=:K'. (6.4.10)

Смысл этого уравнения ясен: в равновесии полная энергия минимальна, равновесие должно быть в первом приближении безразличным по отношению к любым перемещениям небольшого числа электронов с одного места на другое. Эти перемещения можно производить, взяв электрон в одном месте (г') и поместив его в другое место (г"), что даст условие

Ef (r') - op (г') = Ef (г") - (r"). (6.4.11)

При этом г' и г" любые, г' — г" не должно быть мало.

Другой способ связан с перемещением всех электронов, находящихся в данной точке, на малое расстояние бг. Его рассмотрение приводит к уравнению равновесия в гидродинамической форме, с градиентом давления. Ясно, что обе формы условия равновесия должны быть эквивалентны.

Мы так подробно остановились на этом вопросе в связи с тем, что совершенно аналогичная ситуация имеет место для звездьі какОБЛАСТЬ СРЕДНИХ ПЛОТНОСТЕЙ

197

целого; как мы увидим ниже, условие механического равновесия звезды эквивалентно условию постоянства суммы химического потенциала и гравитационного потенциала по всей звезде.

Вернемся к микромиру. Так как энергия Ферми просто выражается через плотность электронов, то получим (А, В — кон-станты)

ArCIз — «р = K', п = В (K' + еф)3/*

и окончательное уравнение самосогласованного поля:

= + (6.4.12)

выписано для нерелятивистского случая и О <\r T1; здесь с — известная константа, элементарно выражающаяся через Ть, пг, е, а К" = KrIe- константа, значение которой заранее не задано.

Граничные условия получаются из следующих соображений: в центре элементарной ячейки находится ядро с зарядом Ze, значит, при г -> 0, ф const -f- Zelr. Внутри шара должны на-

R

ходиться Z электронов, так что 4я J n(r)r2dr = Z. Это условие
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 200 >> Следующая