Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
В следующих параграфах будут кратко изложены математические методы описания кривизны пространства — времени, необходимые для дальнейшего. Читателей, интересующихся подробным изложением вопроса, мы отсылаем к книгам Рашевского (1964), Ландау и Лифшица (1967) и работе Зельманова (1959а).
§ 3. Неинерциальяые и нестатические системы в пространстве — времени Минковского
Для того чтобы лучше уяснить смысл кривизны пространства — времени, напомним сначала особенности геометрии пространства и течения времени в неинерциальных и нестатических системах отсчета, движущихся с ускорением в плоском пространстве — времени Минковского. Это позволит нам ввести понятия, необходимые для вычислений в искривленном пространстве — времени *).
В мире Минковского (т. е. вдали от тяготеющих масс) геометрия в инерциальной системе отсчета евклидова и время течет везде одинаково.
Рассмотрим теперь, следуя Эйнштейну (1965 **)) (см. также Ландау и Лифшиц (1967)), равномерно вращающийся диск. Наблюдатель А, не участвующий во вращении, может измерить длину
*) С математической точки зрения это соответствует введению криволинейных координат на плоскости, полученный аппарат затем используется для вычислений на кривой поверхности, где пользоваться криволинейными координатами просто необходимо.
**) Мы ссылаемся на собрание трудов Эйнштейна, первый том которых вышел в 1965 г. 18
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
окружности края диска Z и его диаметр d (например, измеряя длину окружности, начерченную непосредственно под вращающимся диском, и диаметр этой окружности). Очевидно, что Hd = я. Другой наблюдатель, B1 находящийся на вращающемся диске, тоже измеряет длину окружности, непосредственно прикладывая масштаб к его краю, а затем к диаметру.
Наблюдатель А замечает, что когда наблюдатель В прикладывает движущийся масштаб к краю диска, масштаб испытывает лоренцово сокращение длины. Следовательно, на длине той же окружности уложится больше масштабных отрезков, и длина окружности получится больше, чем при измерении в инерциаль-
r і
нои системе, а именно, і = —, где и — скорость края
У 1 — V2Jc2
диска. Когда на вращающемся диске масштаб прикладывают к диаметру, для неподвижного наблюдателя А он не сокращается в длине, так как движется в поперечном направлении. Следовательно, измерение диаметра даст то же число, что и в инерциаль-ной системе d = d. Поэтому по изменению на вращающемся
T I .
диске отношение — =-, _> я, что не соответствует
d d Yl- V2Ic2 ^ j
геометрии Евклида*). Заметим, что если скорость вращения диска меняется, то геометрия будет меняться со временем.
Обратимся теперь к свойствам течения времени. Чем дальше от центра диска, тем больше линейная скорость вращения, тем медленнее идут часы согласно формуле СТО: t = t ]/Ч — г;2/с2. Таким образом, темп течения времени разный в разных точках диска. Если же скорость вращения меняется, то и темп этот меняется с течением времени.
Но это еще не все. Рассмотрим часы, расположенные на одной окружности диска. Они движутся с одинаковой линейной скоростью V1 и темп их хода одинаков. Чтобы они всегда показывали одинаковое время, у них должно быть начало отсчета, т. е. их нужно синхронизовать. Из СТО известно, что если синхронизовать с помощью лучей света часы / и II в двух точках движущегося "тела (рис. 2), то для неподвижного наблюдателя часы I идут несколько впереди часов II. Поэтому, если попытаться синхронизировать часы, расположенные на окружности на вращающемся диске, получим следующее (рис. 2). Часы II отстают для внешнего наблюдателя от I1 часы III от II и тем более от / и т. д. Обойдя всю окружность и вернувшись к I1 мы
*) Заметим, что здесь нельзя обратить рассуждения, считая наблюдателя В покоящимся, а наблюдателя А движущимся, ибо на диске действуют центробежные и кориолисовы силы (вызванные вращением), которых нет в инер-циальной системе А. Системы А и В неравноправны. s 3J НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ И НЕСТАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 19
должны заключить, что в этой же точке часы, синхронные с /, должны идти позади /, что явно нелепо.
Рассуждение показывает, что на вращающемся теле нельзя установить единое время. Время не только течет по-разному в разных точках, но и понятия одновременности в одной и той же системе отсчета не существует.
До сих пор мы рассматривали диск, вращающийся с постоянной угловой скоростью. Предполагалось, что свойства диска не изменяются со временем. Когда мы анализировали измерение длины окружности прикладыванием масштаба, мы не заботились о покрытии масштабом всех частей в один и тот же «Момент времени», так как с течением времени свойства не менялись. Теперь мы понимаем, что представление об одновременности не применимо к конечным областям диска. Вот почему бессмысленно говорить о свойствах диска как целого в данный «момент», если диск вращается с переменной угловой скоростью. Однако для малых частей диска можно с достаточной точностью ввести понятие одновременности, чтобы определить геометрические свойства этих малых частей диска и говорить об отклонении их геометрии от евклидовой (т. е. отклонение суммы углов треугольника от я и т. п.).
