Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что при абсолютном нуле температуры (и без учета квантовых эффектов для ядер, которые намного тяжелее электрона) ядра располагаются в решетке с плотнейшей упаковкой **).
*) Точнее, величина p/fie, благодаря чему график становится универсальным для любого вещества.
**) Так называется решетка, в которой при данном минимальном расстоянии между ядрами достигается наибольшая объемная плотность ядер. Очевидно, что эта же решетка решает и обратную задачу — расположения ядер с наибольшим расстоянием между соседями при данной объемной плотности.
10-1-1-1-
5 6 7 Цр/fle
n ftP1 „ я din P
Рис. 27. Показатель адиабаты у = ^ р для
вещества, давление которого определяется вырожденными элементами, а плотность — барионами. 192
&ОЛОДЙОЕ ВЕЩЕСТ00
trJl. б
Найдем приближенное выражение поправки к энергии. Заменим
1
ячейку решетки шаром того же объема, F = -^-= —2— , где N —
число ядер в 1 см3, T1 — радиус шара. Потенциал заряда Ze, помещенного в центре, есть Zejrt, энергия взаимодействия Z электронов, равномерно распределенных в объеме шара, с ядром равна
En, е = - 5Щ- Pe • ЫтЧт = - (6.3.1)
О
(мы учли, что peF = —Ze); здесь ре — плотность заряда электронов в шаре.
Теперь найдем взаимодействие электронов между собой. Потенциал внутри равномерно заряженного шара (т. е. та часть потенциала, которая создается только электронами, без учета ядра):
_ Ze ( З 1 г2 \
фе~~ TT \2
Энергия взаимодействия:
„ 1 С JT Г (Ze)21 із 1 1 3 \ 3 (Ze)2 ,п о оч Eee = РеФе^ = ( 2 ' ? ~ "Г ' T-' = !Г^ТГ • (6'3'2)
Вся электростатическая энергия одной ячейки:
Взаимодействием с электронами и ядрами, находящимися в других ячейках, можно пренебречь, поскольку эти ячейки электронейтральны: внешнее поле заряда одного знака, окруженного сферически-симметричным облаком нейтрализующего заряда другого знака, равно нулю. Значит, ошибка связана лишь с отклонением элементарной ячейки решетки от сферической формы. Точный расчет показывает, что ошибка приведенного выше приближенного выражения составляет меньше 0,3% от поправки на куло-новское взаимодействие.
Другой способ расчета, принципиально более прозрачный, состоит в следующем: найдем электрическое поле E* внутри ячейки, состоящей из центрального ядра и распределенного отрицательного заряда электронов:
Г (Z?")2
Теперь найдем энергию поля, т. е,\ dV. Однако здесь нельзя забывать, что за нуль принята энергия вещества при § з] поправки в о Власти высоких давлений 193
нулевой плотности, т. е. энергия ядра и электронов, находящихся далеко от ядра. У нулевой системы тоже есть поле:
TP* Ze ^o = TF •
Искомая электростатическая энергия сжатого вещества, отсчитанная от энергии при нулевой плотности, равна разности двух интегралов:
B={Z#
8я
о
Переписав выражение следующим образом, получим в согласии с предыдущим расчетом конечную величину:
* ~ ^r+шч"- і W
0 rI
= -Ж(-7Г- (6-3-3')
Сравним электростатическую энергию со средней энергией вырожденных релятивистских электронов. Элементарная ячейка содержит одно ядро, а следовательно, Z электронов. Найдем радиус ячейки T1, выраженный через плотность электронов п:
4я з 1 Z „ I 3 Z у/з /с о /ч
TrI = T = T' г1 = 1Ж1г) • (6-3-4)
Электростатическая энергия, отнесенная к одному электрону и выраженная через плотность электронов, равна
=[^rYzwh- (6.3.5)
Закон зависимости от п такой же, как и для ферми-энергии релятивистского вырожденного электронного газа. Напомним, что в расчете на один электрон в ультрарелятивистском пределе
Ef == срр = Нс(Зп2п)Ч*. Средняя энергия электрона:
E = -^-Ef = %с- (3я2)1/»nV>.
(6.3.6) 194
ХОЛОДНОЕ ВЕЩЕСТВО
