Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь Н/т^с = Ic = 3,86-IO"11 см есть так называемая компто-новская длина волны электрона. Естественно, что /г, имея размерность см"3, пропорционально Z^3. Подставляя числа, получим
п = 6-IO29 ж3. (6.2.4)
Обозначим через |хе молекулярный вес на один электрон, т. е. среднее число нуклонов на один электрон (|хе = 1 для водорода, [Xe = 4/2 = 2 для 4He, Не = 56/26 = 2,17 для 56Fe). Тогда
р = іхет0п = fxe l\fQZ = IAe-IOVt (6.2.5)
поскольку масса нуклона т0 = 1/?, где ? = 6-Ю23 г"1 — число Авогадро. Соответственно
Ve (6.2.6)
(і-10-)1
Отсюда и следует, что при р < (Xe-IO6 г/см3 имеем х 1, т. е. Pf <С теР и электроны нерелятивистские. При
р>(Xe-IOe г/см3, pF>mec.
Точное выражение полной энергии электрона Ef при заданном импульсе Pf1 справедливое при любых (нерелятивистских и релятивистских) значениях импульса, таково:
Ef = VimeC2)2 + C2P2f = тес2 /Г+^2. (6.2.7)
Выпишем предельные случаи этой формулы-:
Ef= тес2 (1 + х2/2), я<1,
Ef = ^eC2 (х + -gj), «>1.
Выражение для Ep включает энергию покоя, т. е. для покоящегося электрона принято E0 = mQc2. Для расчетов, связанных с ядерными реакциями, где принято выражать энергию в миллионах электронвольт, напомним, что 1 Мэв =1,6-10"6 эрг, тес2 = = 0,8-10"6 эрг = 0,51 Мз*.
(6.2.8)§ 2] ВЫРОЖДЕННЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ 189
Возникает вопрос, сколько энергии выделится при превращении одного электрона с энергией Ef в покоящийся электрон E0 = тес2. Из формулы (6.2.8) находим выделяющуюся энергию:
( тес2 (УТ+^-1) = -^тес2, Ef-E0=I (6.2.9)
[ тес2 \х — 1 + 9 «>1.
Поставим теперь более реалистический вопрос, сколько энергии выделится при превращении сжатого вещества с энергией электронов Ef. в обычный газ. При этом электроны переходят в состояние, где их энергия практически *) равна E0 — тес2. Первоначальное состояние характеризуется средней энергией электрона:
» X
E = TTieC2^Yi +X2X2Cixj^dx =
о
= [X(1 + 2*2) 1/Т+Р _ in(Я + yr+F)]. (6.2.10)
Наряду с этим точным выражением полезны асимптотические формулы (выписываем сразу для E — E0):
Е-Е0 = ^-тес\ ,
10 \ (6.2.11)
Давление вырожденного электронного газа можно выразить через энергию, приходящуюся на один электрон, по термодинамической формуле:
р = (6.2.12)
В этой формуле E находится под знаком дифференцирования и поэтому безразлично, пользуемся лимы ? или E — E0:
dE dE (dn\-1 dE fd\nn\-i - 1 dE - /?0/|Q,
так как п = аз?, In п = 3 In х + In a, d^J1 = 3 .
Для газа из невзаимодействующих частиц давление можно также найти, рассматривая перенос импульса через единичную
*) Энергия связи электронов в атоме мала; она составляет в среднем на один электрон 13,5 эв = 2,7'IO-6WeC2 для водорода, 7,7»Ю-5 тес2 для гелия, IO"3 wec2 для железа. Далее мы пренебрегаем этой величиной.190
ХОЛОДНОЕ ВЕЩЕСТВО
![ГЛ. 6
площадку частицами с заданной скоростью и импульсом,
P = ^uzpzdn.
Мы выбрали площадку в плоскости х, у, т. е. J_ оси z. Угол между импульсом и осью Z обозначим 9:
Uz = U- COS0, C2P
U=^f = C
VrI + я2 '
Pzz= P' cos 0» р = тесх;
2 / \4 2п п Хр
Р = Hsiaecos2ede^ Vfb
0 0 0.
хх2 dx =
(6.2.14)
Xp
8 Jt (mec)4 Cf
5
З (2яй)3 J /Г+^2
=
Kc)4 с
8я2й3
Оба способа, естественно, дают одинаковый ответ:
JUaC1 / п Ч1/»
где s-foSgr) . /W = ^r[* /1+^"2(-1-^- l) + In(« + Y.t+Щ•
(6.2.15)
Снова выпишем формулы для двух предельных случаев: нерелятивистского —
P =
2
= ^-(E-E0)n =
1 теС / P \Чг
(^r=wItr (6.2.16)
;з 15 я2 3
*с
и ультрарелятивистского р==тес2 1
15 Я2 73
с
г3 12 я2
^)^=1,2.10-(^. (6.2.17)
р y/i
—12 Я2 73
с
В последних двух формулах оставлен только старший член в давлении (я4) и в выражении энергии , а следующие члены опущены.ПОПРАВКИ B ОБЛАСТИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЙ
191
Итак, для вырожденного электронного газа показатель адиабаты сИпр Равен 5/3при малой плотности и 4/3 при большой плотности.
На рис. 27 показан график зависимости показателя адиабаты от плотности; заметьте, что на оси ординат показан только отрезок от 4/з До 5/з> а по оси абсцисс плотность*) отложена в логарифмическом масштабе. Как dl р видно из графика, показатель адиабаты плавно и монотонно меняется в указанных пределах. Г(Таблицы показателя адиабаты см. у Шацмана (1958).]
§ 3. Поправки в области высоких давлений
В предыдущем параграфе электронный газ рассматривался как идеальный, не учитывалось электростатическое взаимодействие электронов между собой, взаимодействие электронов с ядрами, а также взаимодействие ядер между собой. Уже из этого перечисления, в котором упоминаются взаимодействия разного знака (притяжение и отталкивание), естественно следует вывод, что в первом приближении эти взаимодействия взаимно уничтожаются и благодаря этому оправдывается приближение свободного электронного газа. Эта взаимная компенсация очевидным образом обусловлена тем, что вещество в среднем электронейтрально. Главная поправка связана с тем, что положительный заряд не распределен равномерно в пространстве, а сосредоточен в отдельных ядрах. Эта поправка уменьшает энергию и уменьшает давление: отталкивающие друг друга ядра находятся в среднем на большем расстоянии друг от друга по сравнению со средним расстоянием между притягивающимися ядрами и электронами; отталкивание слабее притяжения.