Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Холодное вещество
CrJl б
три периода: первый, о котором ничего не известно; второй, о котором известно почти столько же, сколько о первом, и третий, который последовал за двумя предыдущими». В действительности смысл такого подразделения связан с квантовыми эффектами. Плотность IO93 г!см3 получается, если поставить задачу (см. гл. 2): найти величину размерности плотности, построенную из мировых постоянных: Ть — постоянной Планка, с — скорости света и G — гравитационной постоянной. Такая величина имеет вид
Ps = W = 5'1093 г/см*¦ (6'1'1)
При р < Pg квантовые эффекты в самой гравитации не играют существенной роли (хотя они существенны для частиц). Мы не знаем конкретно давления и плотности энергии как функции плотности частиц и энтропии. Мы знаем, однако, что эти функции существуют, знаем термодинамические соотношения между ними, знаем те уравнения Эйнштейна, в которых эти функции входят.
Мы можем прц р < Pg пользоваться понятиями непрерывного пространства и времени.
При р > pg положение существенно меняется. Становятся важными квантовые эффекты, связанные с гравитацией. Но гравитация в теории Эйнштейна связана с метрикой пространства — времени. Следовательно, сама метрика пространства — времени не может быть рассмотрена классически. Никакой конкретной теории, в которой квантовым образом рассматривалось бы пространство и время, в настоящее время не существует.
В духе всего развития физики разумно сделать только одно предположение: если плотность достигает квантовой величины в ограниченной со всех сторон области пространства и времени, то не нарушаются интегральные законы сохранения, написанные для состояний до и после периода р Pg.
Однако в духе нашего обсуждения геометродинамики (гл. 2) мы можем сказать о поведении материи при плотностях, приближающихся к Pg, следующее. Рассмотрим в качестве примера идеальный ферми-газ с «планковской» плотностью п = 1 /Z3, где Z — планковская длина. Ферми-импульс будет pF — Н/1 и соответствующая масса (конечно, не масса покоя, которая пренебрежима для обычных частиц при таких плотностях!) равна планковской массе — 10~5 г. По порядку величины плотность энергии материи есть рпланк = Ps- Энергия гравитационного взаимодействия двух таких частиц, разнесенных на расстояние Z, равна их ферми-энер-гии. Следовательно, гравитацию нельзя больше рассматривать как дальнодействующую силу, она является необходимой частью уравнения состояния при приближении плотности к pg. Некоторые идеи о том, как изменяется уравнение состояния под влиянием этого эффекта (для «горячей модели», конечно, так как эти ус- § 2]
ВЫРОЖДЕННЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ
187
ловил представляют интерес при обсуждении начала расширения Вселенной, при котором температуры велики), можно найти у Сахарова (1966).
Такова общая классификация тех областей давления и плотности, очень различных по свойствам и по теоретическим методам трактовки, с которыми приходится иметь дело в релятивистской астрофизике. По областям 1 и 7 мы ограничимся приведенными замечаниями; другие же области будут более подробно рассмотрены ниже.
Начнем рассмотрение с наиболее важной и в то же время наиболее ясной третьей области.
§ 2. Вырожденный электронный газ
Для связности изложения напомним общеизвестные формулы, приводя попутно численные значения коэффициентов. Ясное и последовательное изложение вопроса содержится в «Статистической физике» Ландау и Лифшица (1964).
Согласно принципу Паули каждый квантовый уровень занят одним электроном или свободен. При равной нулю температуре заняты все уровни с энергией E ^ Ep и свободны все уровни с энергией E Ер. Величина Ef, граничная энергия, называется кратко «энергия Ферми», или «е-ферми». Соответственно говорят об «импульсе Ферми» pF. Приданном движении электрона (данной орбитальной волновой функции) есть два уровня в соответствии с тем, что спин электрона V2 Й может иметь две проекции на произвольную ось, V2 Й и — V2 Й.
Число орбитальных состояний в квазиклассическом движении равно объему в шестимерном фазовом пространстве (пространстве координат и импульсов), деленному на (2яй)3 — «объем одной ячейки» *). С учетом спина,
^=2W- (6-2Л)
Отсюда получаем число уровней в 1 см3 с импульсом меньше pF (импульса Ферми), имея в виду, что ^d3X = 1 см3, ^d3p = р\,
з 3
_ 9 4я Pf _ Pf ,п 9 9ч
п - Z - 'ШР' [р.л.4)
*) Чтобы самим получить объем ячейки, сосчитайте число решений уравнения Шредингера в «ящике», т. е. в объеме параллелепипеда с данными длинами ребер Ix, Zy, Iz и с условием \|) = 0 на сторонах параллелепипеда. Проверьте, что такое же число уровней получится, если заменить условие^ = О (соответствующее бесконечному потенциалу) условием периодичности ij)(a;, у, z) = \|) (х + nxlxi у + nyly, z + nzlz), где все числа п — целые. В этом случае уровни соответствуют плоским волнам с квантованными компонентами импульса. 188 ХОЛОДНОЕ ВЕЩЕСТВО 