Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
при конечной ПЛОТНОСТИ Pc A (Д//Д/ t )2 • Решения уравнении малых возмущений внутри пыли *) показывают, что h неограниченно возрастает только при р оо, а при р = рс оно конечно. Таким образом, вплоть до момента T2 (еще далекого от т3, когда р = со) в пыли при R R1 имеем h < B1.
В свободно падающей системе в вакууме есть решения, неограниченно нарастающие на г = г о. Однако корректная постановка задачи Коши исключает эти решения и волизи поверхности шара в вакууме h мало вплоть до т = т2. Таким образом, мы имеем в вакууме:
1) из начальных условий: при т = О, R > R11 h= / (г) < в2;
2) из малости возмущений на границе пыли: при 0 х ^ X2 и. R = R11
H = e**f (г) < 83.
Г 3 t/s
Из 1) следует, что / (г) < 82 при г > В = -g- (Ri + to) (см. рис. 25).
8з
Из 2) следует, что / (г) < е4, где E4= i(ax-при 0 <т<т2иЛ<г<В
Iе Imax
(см. рис. 25). Итак, всегда
/(г)<еб при г >4, еб = max (s2, е4). (4.5.2п)
Теперь, по условию, h < ев при достаточно большом г = const = С и любом г > 0:
Hrasc = ^fiCXs6, т>0.
Таким образом,
eitoT<y^-=87, t>0 (4.5.3П)
(имеется в виду абсолютное значение еі<лт). Из (4.5.2п) и (4.5.3п) следует
h = е/ (г) < е5е7 = е8, Г > А, т > 0.
Первое утверждение доказано. Докажем теперь второе утверждение.
В невозмущенной метрике (4.5.In) для любого луча света (не обязательно идущего по радиусу) в Г-области, при г < rg — F (где F произвольная константа, меньшая rg) справедливы неравенства **)
dX > V-gn/goo>i+N,
dR
*) Случай, когда пыль безгранична, анализируется Лифпшцем (1946). Для рассматриваемого случая модифицированный анализ проведен Новиковым (1969). Он показал, что с границей, как и без нее, возмущения метрики внутри пылевой сферы и на ее границе при прохождении ею гравитационного радиуса г* остаются конечными.
dR
**) Мы рассматриваем луч, для которого > 0. 170
НЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. 4
где N = const. Эти неравенства означают, что наклон луча на конечную величину больше наклона линии г = rg (см. рис. 25).
Выше доказано, что всегда при г > А возмущения метрики остаются малыми. Ясно, что эти возмущения мало меняют величину луча и неравенство
dx
-W>i + N
сохраняется. Таким образом, луч в области А < r< rg никогда не приближается к г = rg и тем более не может ее пересечь. Следовательно, мы доказали, что при коллапсе с малыми вначале отклонениями от сферической симметрии луч никогда не выходит из Т'-области.
§ 6. Сингулярность при коллапсе; что происходит с веществом после ухода под /Sfrop?
Вопрос, поставленный в заголовке параграфа, возникает неизбежно. Действительно, в случае строгой сферической симметрии, как показано в § 12 гл. 3, сжимающееся тело для сопутствующего наблюдателя после пересечения rg = 2Gmlc2 неизбежно сжимается в точку, и бесконечная плотность достигается всем веществом шара. Что будет дальше? Правда, внешний наблюдатель об этом ничего не узнает, для него лишь при оо r-*-rg; все, что будет потом, лежит для него всегда в абсолютном будущем (см. § 12 гл. 3). Но какова конечная судьба сжимающегося шара не для внешнего наблюдателя, а для сопутствующего наблюдателя, находящегося на поверхности шара?
Релятивистское сжатие сферического тела, как уже отмечалось, неустойчиво. В ходе сжатия возмущение нарастает неограниченно при р оо (см. об этом Приложение к§ 5). Может ли развитие несимметрии привести к исчезновению особенности в решении и перевести сжатие в расширение после достижения некоторой максимальной плотности? Частично на этот вопрос ответили Пенроуз (1965), Хоукинг и Пенроуз (1970). Они показали, что если тело сжимается до размеров, меньших rg, и при этом удовлетворяются некоторые приемлемые условия, то достижение истинной сингулярности в решении неизбежно. Достигает ли вся материя бесконечной плотности, методом Пенроуза и Хоукинга установить нельзя. Подробнее см. книгу Пенроуза (1971).
Применительно к проблеме коллапса ограниченного тела теорема Хоукинга — Пенроуза гласит:
В пространстве — времени имеется истинная сингулярность, если при выполнении уравнений тяготения (с Л 0)
1) нет замкнутых времениподобных кривых, т. е. не нарушается причинность;
2) уравнение состояния вещества удовлетворяет условию
СИНГУЛЯРНОСТЬ ПРИ КОЛЛАПСЕ
171
где Pa — три главных значения тензора давления. Эти неравенства всегда выполнены для всех известных видов вещества и полей;
3) в пространстве — времени есть «ловушечная» поверхность. Под «ловушечной» поверхностью подразумевается замкнутая двумерная пространственноподобная поверхность, обладающая следующим свойством. В каждой точке поверхности проведем нулевую геодезическую линию, ортогональную к ней. Таких линий в каждой точке можно провести две. Все линии образуют два семейства. Условие «ловушечности» требует, чтобы в обеих этих системах нулевые геодезические линии сближались в окрестности поверхности. Примером «ловушечной» поверхности служит при сферическом коллапсе любая поверхность R = const, т = const, лежащая внутри сферы Шварцшильда. Лучи света, выходящие из точек такой поверхности ортогонально к ней, всегда движутся к меньшим г, т. е. сходятся (см. рис. 16).
