Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
где q — квадрупольный параметр возмущения. В написанных вы-
ражениях опущены множители, пе зависящие от
При сжатии тела с g =f. О в сопутствующей системе все величины Ajiv конечны. Поскольку K22 и A33 не преобразуются при пе-
(4.5.2)Коллапс вращающегося тела
реходе от сопутствующей системы к шварцшильдовской, то очевидно, что при Г Гg
q ^ In"1 TTZT^--J- • (4.5.3)
Последнее соотношение в (4.5.3) получено из уравнения (3.5.1) для закона свободного падения в поле Шварцшильда. Таким образом, квадрупольный момент должен убывать со временем не медленнее, чем t"1 *).
Более точный анализ показывает [см. Р. Прайс (1971); см. также Паташинский, Харьков (1969); обзор см. Торн (1971а)], что затухание происходит по степенному закону, но с показателем степени, большим единицы.
Прайс (1971) показал, что амплитуда мультипольных возмущений на поздних стадиях коллапса-определяется «хвостами» гравитационных волн, рассеиваемых на искривлении прсстранства — — времени. Амплитуда возмущений затухает по формуле
Hij ~ *-<2г+2),
где I — порядок мультиполя (Z = 2 для квадрупольных возмущений).
Итак, предельное поле сжимающегося несимметричного слабо вращающегося тела есть (в первом порядке) поле Шварцшильда с «вращательными отклонениями» в недиагональных членах.
В § 3 были приведены аргументы в пользу того, что именно метрика Керра является единственной стационарной метрикой без особенностей на Svop. Отсюда следует, что при коллапсе любого вращающегося тела при t —> оо возникает гравитационное поле, описываемое в области вне и на Svov метрикой Керра.
Рассмотрение движения пробных частиц и лучей света в таком поле (см. § 3 гл. 4) приводит к выводу, что некоторые важные свойства движения качественно те же, как и в случае поля Шварцшильда. Для внешнего наблюдателя частица с прицельным параметром, меньшим критического, гравитационно захватывается и по спирали, совершив конечное число оборотов, подходит асимптотически при OO К особой поверхности SVOp = 0.
То же имеет место и для лучей света. Никакое излучение, никакая информация из-под сферы Sfrop к внешнему наблюдателю не поступает, происходит гравитационное самозамыкание. Подробнее об этих свойствах см. § 3 гл. 4 и обзор Торна (1971а).
Эти выводы особенно важны для анализа катастрофического сжатия звезд, о чем будет говориться в следующем разделе книги.
*) То же относится и к высшим мультипольним моментам.169
НЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. 4
ПРИЛОЖЕНИЕ К § 5
Рассмотрим коллапс сферической пылевой массы. Введем в пыли сопутствующую систему. Продолжим эту свободно падающую систему за границу пыли, воспользовавшись решением Толмена (см. §§ 12 и 13 гл. 3). Для кон-
г-п кретности будем считать, что точка на гра-- нице пыли падает с параболической скоростью, а плотность вещества внутри пыли однородна *). Метрика внутри пыли дается выражением, [приведенным в § 12 гл. 3, а метрика вне пыли есть метрика Леметра (см. там же) с^в виде
ds2 = dr2 — —
/г=C
Z=O
[-|-(Д-т + то)]
гз
(л-т + То)
(ДО + sin2 Odcp2);
(4.5.ІП)
здесь т — собственное вреМя, T0 = const, и T0 зависит от начала отсчета времени, R — сопутствующая координата, с = 1, rg = 1. Пространство — время этой модели изображено на рис. 25. Пунктиры — линии
Вакуум
г = const, где г
г з Т/з
= [Т(Я- T + To)J -
Рис. 25. Коллапс пылевого шара в свободно падаюшей системе отсчета (обозначения см. в приложении к § 5 гл. 4), а и Ь — мировые линии лучей света. Луч а, вышедший из E1 вблизи T1, долго идет вблизи r — Tg (по времени любой,сжимающейся системы отсчета).
шварцшильдовская координата.
Пусть в момент т=0 (близкий к моменту T1, когда граница пыли пересекает поверхность Шварцшильда г = rg) возмущения плотности, скорости вещества и метрики при всех 0 < г < оо малы.
Далее, пусть на сколь угодно большом г = const возмущения всегда будут малы (последнее очевидно). Тогда: 1) будут в рассматриваемой систе-
Г 3 Y/s
ме всегда малы при г = (і? — т — То) > т. е. правее и ниже пунктира г = А на рис. 25; 2) луч света, покинувший пыль после момента T1, никогда-не выйдет за пределы поверхности Шварцшильда г = rg (см. рис. 25). (Предельный момент в действительности несколько больше T1 из-за возмущения горизонта.).
Докажем первое утверждение. Из (4.5.1п) видно, что в вакууме компонен-
[3 Y^s
(R — т + to) J . Поэтому если мы теперь
в качестве независимых переменных будем рассматривать не R и т, а г и т, то малые возмущения метрики в вакууме могут быть записаны в виде (индек-
*) Если коллапс начался вдали от rg, то вблизи rg скорость границы всегда почти параболическая. Не представляет никакого труда обобщить доказательство на случай движения границы пыли с эллиптической или гиперболической скоростью и с градиентом плотности пыли по радиусу.КОЛЛАПС ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
169
сы а, ? в дальнейшем опускаем) h = ег<ЙТ/ (г). Функция / (г) зависит от 8 и <р, но эта зависимость сейчас несущественна и мы ее не рассматриваем. Идея доказательства состоит в том, что из малооти возмущений на линиях (см. рис. 25) D-R1- R2i далее по г = C1 и из вида h = еі(ЛХ f (г) следует, что /г мало везде внутри полосы, ограниченной г = A1 г = С ts. D -R1 — — R2. Приводим формальное доказательство. Граница пыли пересекает гй - 2« IQ16