Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
В этом решении уравнений малых возмущений, наложенных на поле Шварцшильда, в поправках к компонентам gik сохранены только члены, линейные по а, и отброшены члены с а2 и более высокого порядка. Заметим, что поверхности Sm и Srov в этом случае совпадают; они отличаются на величину порядка О (а2). Те из эффектов на g00 = 0 решения Керра, которые зависят от линейных по а поправок к ^ixv, сохраняются и в этом решении. В частности, здесь C(^00=O) = 12Zrg < оо (в линейных членах). Хартли и Торн (1968) получили общее решение для внешнего гравитационного поля медленно вращающейся деформированной центробежными силами звезды во втором порядке по угловому моменту (a/rg)2 и в первом порядке по квадрупольному моменту. Это решение обладает любопытным свойством: оно не имеет сингулярности на Sm или Sfrop, если квадрупольный момент Q, угловой момент К и масса звезды удовлетворяют алгебраическому равенству
Q = КУМ.
Торн предположил, что для того, чтобы решение не имело сингулярности на Sfrop, каждый высший мультипольный момент должен быть связан с моментом и массой соотношением, аналогичным приведенному выше; он также привел аргументы в пользу того, что единственным точным решением с отсутствием сингулярности на 5Г0р является решение Керра. Последующие исследования подтвердили это предположение. Обзор см. Торн (1971а).
Может ли быть реализовано решение с «вращательным» отклонением от сферической симметрии во всей области вплоть до g00 = 0 или до ?гор?
Реализация решения стационарным телом здесь отпадает по тем же причинам, что и в случае тела с квадрупольным моментом. Однако для нестационарного источника поля те же рассуждения,§ 4] СФЕРА ШВАРЦШИЛЬДА ВО ВНЕШНЕМ КВАДРУПОЛЬНОМ ПОЛЕ 163
что и в § 2 гл. 4, не проходят, так как здесь во «вращающемся» решении Керра на ^00 = 0 и на горизонте событий Srov инвариант С конечен. Мы увидим ниже, что метрика Керра действительно возникает как предельная при t оо для всей области ВНЄ iSpop при коллапсе под ^rop любого вращающегося тела.
§ 4. Сфера Шварцшильда во внешнем квадрупольном поле
Закончим рассмотрение несферических статических полей следующим небольшим замечанием.
Существуют решения уравнений Эйнштейна, в которых имеется поверхность Smi ничем качественно не отличающаяся от поверхности Шварцшильда для сферического случая. Однако в этом случае отклонения от сферической симметрии должны вызываться внешним полем. Например, если рассматривать сферическую массу во внешнем квадрупольном поле (нарастающем с удалением от массы т), то точное решение уравнений Эйнштейна в вакууме имеет вид (обозначения те же, что в § 2 гл. 4):
? = 4- lnXTT + "Гq -(3(х2 - *>•
Г = ^-^=^-^(1-р*)-
--^q2 № - 1) (1 - I^2) [9|х2Х2 - X2 - ц2 + 1].
Поверхность g00 = 0 определяется условием к = 1. Эта поверхность Sm является деформированной внешними полями сферой Шварцшильда. Гауссова кривизна двумерной поверхности Sm (не гауссова кривизна 3-мерного пространства, вызванная полем тяготения!)
Са = -Ш 11 + 3V - i2W* - 9^2 + Wl
различна при разных |х и везде конечна. Физические свойства этой Sm такие же, как и у сферы Шварцшильда.
Постоянное внешнее квадрупольное. поле может быть создано удаленными массами, закрепленными на подпорках, которые удерживают их от перемещений.. Приближенно на ограниченном интервале времени это же поле может быть создано и не закрепленными удаленными массами, скорости движения которых под влиянием взаимного тяготения будут вначале малы и поле почти статично.164
НЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. 4
§ 5. Коллапс вращающегося тела с малыми отклонениями от сферической симметрии *)
Напомним сначала кратко, как протекает сжатие однородного пылевого сферического облака радиуса г (см. § 12 гл. 3). Для далекого наблюдателя картина стремится к «застыванию» при г-^rg благодаря замедлению течения времени. Для него тело никогда не будет иметь размеры меньше, чем rg. Наблюдатель, находящийся на поверхности сжимающегося облака, за конечное собственное время достигает R = rg. Для него сжатие вовсе не «застывает» и продолжается дальше, уже внутри сферы Шварцшильда в T-области. Плотность вещества шара при R = rg и большой массе ничем не примечательна. Ее легко оценить:
где М© = 2-Ю33 г — масса Солнца.
Для M = 108М©, например, P^ ~ 2 г/см3. После пересечения поверхностью шара гравитационного радиуса лучи света от нее, как видно из рис. 25, уходят внутрь от поверхности Шварцшильда и никогда ее не пересекают, никогда не возвращаются к внешнему наблюдателю.
Если в шаре вначале были небольшие возмущения плотности и скорости вещества, то они при сжатии будут усиливаться, что подробно исследовано в работе Лифшица(1946) (см. Приложение). Поверхность сжимающегося тела в некоторой точке пересечет поверхность (горизонт событий), через которую лучи света не могут уйти на бесконечность. Хотя этот горизонт будет отличаться от поверхности Шварцшильда, но в силу малости возмущений это отличие будет так мало, что можно считать горизонт совпадающим с поверхностью Шварцшильда г = rg.