Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь движение частиц в экваториальной плоскости метрики Керра. Особенности движения легко анализируются тем же методом, что и для поля Шварцшильда (см. §§6—10). В метрике Керра уравнение потенциальной кривой, аналогичной кривой, изображенной на рис. 10 для метрики Шварцшильда, имеет вид
E2 (г3 + а2 (г + 1)) - 2Еаа. +
+ (1 — г) а*—г2 (г—1) - a2r = 0. Здесь гsm = 1, — момент импульса пробной частицы, измеренный
Рис. 246. Зависимость радиуса круговой орбиты от момента аф. 1—продвижении с п о л о ж и-тельным моментом а+ в экваториальной плоскости метрики Керра с — а = т. Кривая для неустойчивы* круговых орбит вырождается в горизонталь г = rSrop- 2 — при Дви>ке~
нии в метрике Шварцшильда, а= 0; 3 — при движении с отрицательным моментом аф в экваториальной плоскости метрики Керра. 160
НЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. 4
в единицах с rSm, т# — масса пробной частицы. Рассмот-
рим движение по кругу. На рис. 246 построена зависимость радиуса круговой орбиты от момента (аналог рис. 13 для поля Шварцшильда) для метрики Keppa с максимально возможным моментом ja\ = т (см. сноску далее). Выбрано к=—ат^>0.
Из рис. 246 видно, что при движении с положительным a^ все орбиты расположены гораздо глубже, чем в шварцшильдов-ском случае для того же а%\ при отрицательных орбиты лежат дальше от Smi чем в случае метрики Шварцшильда. Последняя
устойчивая орбита лежит *) при а¦ = -у==- (вместо аф = для Шварцшильда). Эта орбита соответствует г = = г« (вместо
ы "гор
г = 3 для Шварцшильда) и энергия частицы на ней
Якр = ]/^~0,58; (екр. ШВ= ]/4-~0,94).
Приведем также прицельные параметры гравитационного захвата частицы и луча света, движущихся в экваториальной плоскости в метрике с произвольным параметром а:
а) при V00 ^c [см. Дорошкевич (1965Ь), Руффини, Уилер (1970)1:
гзахв = ±^[1+(1+М)1/2]г0 ;
vOO т
б) при V00 = с (Годфрей, 1970):
для движения с положительным моментом
К, захв = 4 COS8 (я —¦ arccos \а\) j
для движения с отрицательным моментом: Kf захв = 4 COS3 arccos \а\J
Прежде чем говорить о принципиальном значении решения Керра, перейдем к приближенному общему решению, полученному методом малых возмущений, которое описывает поле медленно вращающегося шара (без предположения слабости сферически-симметричной части поля). Условие медленного вращения (малого момента) есть К KirgC1 | а | 1.
Выпишем сначала уравнения для малых возмущений (к полю Шварцшильда в вакууме) в случае вращающегося шара без предположения статичности (это потребуется в дальнейшем).
*) Точнее, следует говорить о стремлении всех величин к указанным ниже пределам, когда j а |—ибо точное равенство а=т соответствует в некотором смысле вращению источника со скоростью света и, вероятно, невозможно. § ЗІ
ВНЕШНЕЕ ПОЛЕ ВРАЩАЇОЩЕГ0СЙ ТЕЛА; МЕТРИКА КЕРРА l?l
Шар может радиально расширяться или сжимать ся. Из соображений симметрии ясно, что при слабом вр ащении из возмущений AjbV компонент шварцшильдовского решения в первом порядке будет только A03, A13 и A23 (возмущения в диагональных компонентах второго порядка малости). С помощью малого преобразования координат всегда можно обратить одну из этих величин в нуль: при преобразовании ф = ф -f- ? компоненты^®, ^f и A2 получают
приращения ДAjJ = , AA1 =
dt , ^1 - ~ , Ыг\ = -Ц . Обратим в нуль A23. Выпишем нетривиальные компопенты бі?аР:
д giihos__д_ gooh\3 \
dt sin2 Є dr sin2 О )
S R
23
= _ -Li.
дв V
О,
S^13 = - (sin 9 Sin"1 0 + 2A13) - gll
dgoo sin 9 д
d2h13
6R03 — g00
d2ho3
+ -2 ' г
dr
^03 —
dQ
sin"1 Э
dt2
dhps
dQ
(4.3.2)
Для нахождения стационарного решения положим = 0. Тогда решение (4.3.2) имеет вид
A13 = (г) г2 Sifc2 8, Aos = S «п/п (tj) ^n (COS Є) sin 0.
dhi3 dt
(4.3.3)
Здесь с = 1, G = 1, ф (г) — произвольная, r^ = 2яг, an == const, = + 1 — и; 4;«),
t) X и* (X)
гипергеометрическая функция Гаусса, Pn — первый присоединенный полином Лежандра [см. Градштейн, Рыжик (1962)].
Асимптотически /п (х) — ж1"71, X 1. Сделав теперь малое преобразование ф == ф — я|) (г), получаем A13 = 0, и единственной отличной от нуля компонентой остается A03, для которой справедливо (4.3.3).
Конкретный вид поля в вакууме определяется условиями сшивки на поверхности тела с внутренним решением. Условия сшивки, следующие из требований выполнимости уравнений поля на границе, требуют, чтобы A03 была везде непрерывна. Для шара с твердотельным законом вращения (но не обязательно стационарного —- он может радиально деформироваться) это условие, как 162
НЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. 4
можно показать, приводит к тому, что в вакууме Ji03 — Sin2O и h13 — sin2 0. Первое уравнение (4.3.2) тогда выполнено тождественно, а решение двух других совместно с граничным условием при помощи малого преобразования координат приводится к виду
h03 = siv* Є(4.3.4)
где К = —am — полный момент.
Таким образом, внешнее поле такого сжимающегося шара постоянно (в линейных по а членах). Выражение (4.3.4) совпадает по форме с приведенным в учебнике Ландау и Лифшица (1967) для слабого поля. В действительности оно справедливо и в сильном поле, но при а rg (с точностью до первого порядка по а). Выражение (4.3.4) для стационарного шара было независимо получено Гуровичем (1965).
