Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичные выводы следуют для случая q < 0. Только здесь в пределе g33 оо при О < [x2 < V3 и g33 О при |х2 > V3.
Следовательно, в данном поле при сколь угодно малом | q | поверхность Sm очень сильно отличается по своим геометрическим свойствам от сферы Шварцшильда.
Как подчеркивалось, в поле Шварцшильда на Sm не было особенности пространства — времени и C = RUm Rfm = і2/г%фоо. В решении (4.2.1) скаляр С имеет при |х = О следующий асимптотический вид: при g00 -»- 0, q -»- О
C= AqXl + Ч> ^=Const. rg
Здесь написан главный расходящийся член и член, остающийся при q = 0. Следовательно, при сколь угодно малом, но отличном от нуля q на поверхности Sm появляются истинные особенности пространства — времени.
Рассмотрим свойства световых лучей в поле (4.2.1). В силу симметрии лучи света при |i = О и |i2 = 1, имеющие начальное направление по радиусу, будут все время двигаться в этом направлении. Вблизи Sm время распространения света от некоторой
Рис. 24а. Двумерная поверхность, вертикальные сечения которой Я. = const дают меридиональные сечения поверхности goo— const в решении Эреца и Po-зена (1959). Точки а, Ь, с—полюсы вложенных друг в друга поверхностей g00 = const; меньшие Я соответствуют внутренней поверхности. Точки а, Ь, с лежат в пространстве на одной прямой. §21
СТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ C АКСИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
155
точки с X = K0 до Sm
при |х = 0 (экватор), J0 == const (Я0 — I)5^8, при (X2 = 1 (полюс), t0 = const (Я0 — l)~g, q <0.
Таким образом, в отличие от поля Шварцшильда, время распространения света до Sm для внешнего наблюдателя конечно *).
Рассмотренные выводы, и, в частности, конечное время распространения света до Sm не являются свойством специально квадрупольного отклонения от сферической симметрии. Покажем, что они являются общими для любого статического акси-ально-симметричного решения.
Уравнения тяготения для аксиально-симметричного статического поля в вакууме могут быть записаны в виде [(Вейль (1917; 1919)]
и^ + Ш-0. (4.2.2)
г-рр&мгп- <"л>
Координаты р, Z связаны с координатами Я, |х, используемыми выше выражениями р = т ]/ (Я2 — 1) (1 — |х2), z = тХ|х. Уравнение для ар совпадает с уравнением для потенциала в плоском пространстве в цилиндрических координатах.
Для источника вида **) в = a (z) б (р), где б (р) — дельта-функция, решение (4.2.2), очевидно, есть потенциал нити с линейной плотностью о = б (z) в плоском пространстве. Вблизи ^00 == 0 функции г|) и 7 записываются следующим образом ***):
ар = a {z) In р, у = о2 (z) In р,
где <з (z) произвольна. Асимптотическое выражение для метрики:
ds2 = р*Да - р2а (dp2 + dz2) — р2 dcp2.
Свойства этой метрики аналогичны разобранным выше. В частности, от точки с координатами р0, Z01 ф0, двигаясь вдоль линии Z-Z01 ф = ф0 со скоростью, достаточно близкой к световой,
*) Исключением является случай ца = 1, q > 0, когда это время будет степенной бесконечностью.
**) Источник только такого вида на конечных расстояниях от особой поверхности дает малые отклонепия от сферического решения.
***) Исключение представляет вырожденный случай «точечной особенности» (см. Дж. JI. Синг, 1960, стр. 69, формула (1)). 156
НЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. 4
можно за время t = (2о)"1)г ^jy-jp по часам внешнего наблюдателя добраться до g00 = 0.
Несферическую задачу в вакууме Редже и Уилер (1957) рассматривали методом малых возмущений, наложенных на шварц-шильдовское решение. Из решения уравнений для малых возмущений, данного Редже и Уилером, видно, что в статическом случае любое возмущение, убывающее на бесконечности, неограниченно растет при приближении к сфере Шварцшильда невозмущенной задачи, т. е. обладает теми же особенностями, что и рассмотренные выше точные решения.
Резюмируем выводы: при бесконечно малом отклонении от сферической симметрии вдали от Sm сама Sm очень сильно отличается от сферы Шварцшильда, становясь к тому же истинной особенностью пространства — времени; время распространения света до Sm для внешнего наблюдателя конечно (см. Дорошкевич, Зельдович, Новиков (1965) и более подробно Израэль (1967)].
Однако может ли быть реализовано решение с q ф 0 во всей области, вплоть до g00 = 0? В части этой области, где ^00 0, это решение реализуется как внешнее поле статического тела с квадрупольным распределением масс. Но статическое тело заведомо не может иметь на поверхности g00 = 0 уже потому, что тогда обращается в бесконечность гравитационная сила. Следовательно, статическое тело не может реализовать решение для вакуума во всем пространстве, вплоть до ^00 = 0. Не может быть реализовано это решение и не статическим телом, "с малыми в начале сжатия отклонениями от сферической симметрии, ибо, как мы увидим в § 5, при коллапсе в сопутствующей системе отсчета момент перехода границей тела Sm ничем не выделен: в этот момент на поверхности тела нет истинных особенностей пространства — времени (С ф оо), а в рассматриваемом решении они есть. Следовательно, исследованные решения не являются предельными для коллапса несферической массы. Итак, реализовать решение с q ф 0 во всей области, вплоть до ^00 = 0, невозможно, и продолжать поле в вакууме внутрь поверхности ^00 = 0 нельзя. Появление истинных особенностей здесь вполне аналогично появлению их при попытке рассчитать поле двух покоящихся масс (Паули, 1958). Это связано в тем, что уравнения поля одновременно есть уравнения движения. Появление истинной особенности здесь означает, что такое распределение масс реализовано быть не может. Этот факт будет ключевым в дальнейшем при обсуждении коллапса несферических тел.
