Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
R^(Cyv\ (1.14.1)
где скобки < > означают «крупнозернистое» усреднение по масштабам в несколько длин волн *).
Айзаксон раскладывает метрику и тензор кривизны в ряды по малому безразмерному параметру
Ш< 1. (1.14.2)
Заметим, что этот параметр тесно связан с амплитудой волн, ибо как мы увидим ниже, сами волны дают фоновую кривизну. Плотность энергии волн порядка (с4/б?) (А/Я)2, где А — безразмерная амплитуда волны, и, следовательно, согласно уравнениям Эйнштейна, они вызывают кривизну
•^вызв. волнами (G/c4) X (энергия волн) —(АД)2; (1.14.3)
A %jДвызв. волнами ^ Vполная*
Следовательно, в отсутствие материи и других полей разложение по степеням XfR эквивалентно разложению по степеням амплитуды А.
*) Технически это усреднение по Бриллю и Хартли (1964), но во всех случаях, за исключением наиболее сложных, это может быть и любой другой мыслимый тип усреднения. (56 УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА [ГЛ. 1
Айзаксон представил метрику gi}( и эйнштейновский тензор К ри ВИЗНЫ Gik = Rik — Y ^ikR В форме
Stt = Sf+ V (1.14.4)
Gik = Rik -1 = ef + G&> + Gf + о [(Vi?)3].
Здесь giP и GiP метрика и кривизна фона, — осциллирующие поправки, линейные по XfR1 G$ — квадратичные поправки. Поправки Gife и вычисляются с помощью метрики (1.14.4) и стандартных формул (1.7.1), (1.7.2) для тензора Риччи.
Вне источников, в вакуумной области, тензор Эйнштейна исчезает: Gifc = 0. Исследуем эти уравнения поля сначала с «мелкозернистой», а затем с «крупнозернистой» точек зрения. При «мелкозернистом» подходе, когда фоновая кривизна не заметна, часть тензора Эйнштейна, связанная с осцилляциями, должна быть равна нулю:
G$ = 0. (1.14.5)
Будучи выписанным в терминах возмущения метрики Aife, это уравнение становится обобщением волнового уравнения на случай искривленного пространства:
%?a + 2i$Uab + ДЙУк + = 0.
Здесь поднимание и опускание индексов производится с помощью фоновой метрики g№; черточка означает ковариантное дифференцирование по отношению к этой метрике.
При «крупнозернистом» подходе вакуумные уравнения поля Gut = 0 следует усреднить по масштабам в несколько длин волн. Среднее от фоновой кривизны <G(^> будет тогда собственной кривизной фона (без осцилляций), а среднее от линейных возмущений (Grt) тождественно обратится в нуль. Следовательно, уравнения поля будут иметь вид Gi^ + (Gif) =0 или, эквивалентный,
Gf = (SitGIci) Т<$, (1.14.7)
где определяется как
T^ = - (c*/8nG) <<$>> = (c4/32nG) <hlmHh1^}. (1-14.8)
*) Члены, связывающие h^ с кривизной фона, влияют на поляризацию волн, но не изменяют того факта, что волновой фронт движется со скоростью света.
(1.14.6)*) § 14] ТОРМОЖЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ 67
Правая часть этого равенства получена усреднением квадратичной части стандартной формулы для тензора Эйнштейна [см. (1.14.4), (1.7.1), (1.7.2)].
В формуле (1.14.7) мы можем интерпретировать как тензор энергии — импульса мелкозернистых волн hik в крупнозернистом фоновом пространстве. Уравнения поля обеспечивают выполнение обычных законов сохранения для этого тензора:
о, (1.14.9)
где I обозначает ковариантную производную в фоновом пространстве. Следует подчеркнуть, однако, что тензор энергии — импульса Айзаксона 77? является тензором только в фоновом пространстве, но не в возмущенном пространстве, и что он локализует энергию, переносимую гравитационными волнами, только с крупнозернистой точки зрения, т. е. нельзя сказать, переносится ли энергия «гребнем» волны, «впадиной» или чем-то еще. С этой точки зрения формулы (1.13.9), (1.13.10) чисто формальны.
Можно убедиться из формулы (1.14.8), что тензор Айзаксона равен пространственно — временному среднему от псевдотензора Ландау и Лифшица (заметим, что это равенство обнаруживается только в конце анализа: оно не накладывается при выводе!). Следовательно, все результаты, полученные из псевдотензора Ландау и Лифшица (за исключением мелкозернистой локализации энергии, которая, как ими отмечено, не однозначна), формально оправданы анализом Айзаксона.
Вторым методом изучения энергии, переносимой гравитационными волнами, является исследование затухания источника, вызванного обратным влиянием волн. При таком исследовании не нужно вычислять энергию в волнах с помощью тензора Айзаксона или какого-либо псевдотензора. Следует рассмотреть влияние гравитационного поля на источник в трех различных случаях: 1) когдавсе гравитационные волны вдали от источника являются'рас-ходящимися (запаздывающие потенциалы); 2) когда все далекие волны являются сходящимися («опережающие потенциалы»); 3) когда все далекие волны — стоячие, т. е. половина из них расходящиеся и половина сходящиеся («половина опережающих плюс половина запаздывающих»). Сравнивая эти три случая, можно четко описать влияние волн на источник. Находим, что в случае стоячей волны движениягисточника не затухают; в случае расходящейся волны есть торможение движения (потеря энергии), а в случае сходящейся волны (с соответствующей фазой и амплитудой) будет наблюдаться ускорение движения, равное и противоположное торможению, вызываемому расходящейся волной.
