Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
При изучении гидростатического равновесия можно совершенно произвольно выбирать массу покоя, энтропию и момент каждого кольца. Однако существуют другие условия равновесия, связанные с AM0, S и А К, которые должны удовлетворяться, если в звезде всегда поддерживается одна и та же структура.
Рассмотрим произвольную конфигурацию, находящуюся в гидростатическом равновесии. Перераспределим ее угловой момент, перенося малую долю бК с одного кольца на другое, в то время как массу и энтропию сохраняем неизменными. Уравнение
(10.3.56) говорит нам, что если Q в точке, куда добавлен б К, меньше, чем Q в точке, из которой взят б K1 то мы извлекаем энергию
- б Mc2 = (Йвзят - йдоб) б К (10.3.57)
из звезды в процессе движения. Альтернативно звезда сама может совершить перенос момента посредством вязких сил, превращая освобождаемую при этом энергию в тепло. И, конечно, перенос будет осуществлен на практике, так как он энергетически выгоден и всегда есть ненулевые силы, а жидкие элементы мало связаны.
Направление переноса момента всегда совпадает с направлением, в котором освобождается энергия, и в соответствии с
(10.3.57) перенос момента всегда выравнивает угловые скорости. Поэтому перенос будет продолжаться до тех пор, пока ?2(^1, х2) не окажется постоянной по всей звезде и энергия перестанет освобождаться. Конечное состояние
X2) = const (10.3.58)
является равновесным относительно переноса момента с фиксированными AM и S.
Мы можем аналогично рассмотреть перераспределение энтропии (т. е. тепла), при котором момент и масса покоя каждого коль- § 3] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗДЫ
305
ца остаются постоянными. В этом случае мы получаем высвобождение энергии, если не выполнено
Tt{f: xZ = T Igtt + 2gt<p Q + g^Q2]^ = const. (10.3.59)
U1 (X1t X2)
Поэтому условие (10.3.59) является критерием теплового равновесия при фиксированных А К и A M0.
Наконец, возможно перераспределять массу покоя при фиксированной энтропии на единицу массы и фиксированном моменте на кольцо. Условием отсутствия выделения энергии, т. е. условием конвективного равновесия при фиксированных А К и S, будет
У/ Х1 = V Igu + 2йфй + SmQ2]"' = const. (10.3.60)
U (X1i X2)
Конечно, любой реальный физический процесс внутри звезды приводит к переносу всех трех величин: момента, энтропии и массы покоя, так что наше деление условия равновесия на три отдельных случая искусственно. Однако мы можем совершенно точно сказать, что полное равновесие требует: 1) экстремальной M с фиксированными в каждой оболочке AM, S и А К (гидростати-
T
ческое равновесие); 2) Q = const (равновесие по моменту); 3) —г =
и
= const (тепловое равновесие); и 4)== const (конвективное рав-
U1
новесие). Если вещество звезды не будет химически однородным, то могут потребоваться другие связи.
Мы закончим этот параграф выводами полезной формулы для вращательной энергии медленно и твердотельно вращающейся звезды. Для такой звезды мы определим
$ = / полная масса—энергия N / полная масса — энергия \ /10 3 61) ^вращ ^ вращающейся звезды /""/ невращающейся эвезды с \ * '
I той же массой покоя и I \ энтропией в каждом J кольце.
Таким образом, Й'вращ есть полная энергия, которую можно извлечь, остановив вращение* звезды без перераспределения или удаления тепла или массы покоя.
Мы можем вычислить ё'вращ из уравнения (10.3.56). Предположим, что мы удаляем момент, а следовательно, и энергию, одновременно со всех колец с такой скоростью, что Q остается постоянной по всей звезде. Тогда удаление полного момента
бполн K = 2 SK по всем кольцам 306
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
из звезды освобождает полную энергию
Sg = QSnonnK. (10.3.62)
Для медленно вращающейся звезды момент пропорционален угловой скорости:
K=J Q + O(Q3)e (10.3.63)
Здесь J — момент инерции (полностью релятивистской) невраща-ющейся звезды и 0(й3) — пренебрегаемые члены, связанные с центробежным сплющиванием. Интегрируя
Sg = ЙбполнК = JQ SQ
по угловой скорости, находим полное количество удаленной энергии
gBp = JL JQ2 + Q (Q4)e (10.3.64)
Заметим, что моменты инерции, которые входят в соотношение для момента (10.3.63) и в соотношение для энергии (10.3.64), идентичны. Это справедливо как для полностью релятивистских, так и для ньютоновских звезд.
§ 4. Теория холодных белых карликов
а. Ньютоновская теория. Рассмотрим теперь состояние звезды в самом конце эволюции, когда ядерные реакции уже полностью прошли и звезда остыла (S = 0). Рассчитаем массу холодной звезды как функцию центральной плотности. Перепишем формулу равновесия (10.1.3) в виде
M = ^r, (10.4.1)
где численное значение безразмерной константы Ъ зависит от способа усреднения плотности (и связанного с ней давления) по звезде. Удобнее переписать (10.4.1) через центральные значения плотности и температуры:
ЪхР3J2
M = -^. (10.4.2)
Pc
Если уравнение состояния вещества по всей звезде определяется выражением P = u4pY (А = const, у = const), то Ъх можно вычислить, воспользовавшись функцией Эмдена (см. § 2 гл. 10). Для у = 5/3 имеем Ъх = 3,0; для у = 4/3 получим Ъх = 4,55. § 4]
