Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
AK = k(x\ X2)Ax1 Ax2
полный угловой момент кольца с поперечным сечением Az1Aa;2. Тогда энтропия на единицу массы покоя, S(x1J х2) и угловой момент кольца AuT(tf1, X2) поддерживаются фиксированными в описанном выше инжекционном процессе:
Заметим, что если звезда не вращается и к ней добавляется на ее поверхность масса, причем
[ц = Uf = =(l-t^Yh],
то эта формула сводится к (10.3.23).
Предположим, что вместо добавления массы к жидкому кольцу в точке (X1j X2) мы добавляем только энтропию, т. е. только 302 РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД tiyi* 10
тепло. Если масса покоя кольца есть AM0 и добавлена энтропия на единицу массы бS1 то полная добавленная энтропия равна
б5Полн = AM08S. (10.3.47)
(Напомним, что энтропия, температура и другие термодинамические переменные всегда измеряются в системе покоя жидкости!) Добавление этой энтропии означает добавление тепла
бИ^(инжект) = T (х\ х2) б?полн, (10.3.48
измеряемого нашим коллегой, сопутствующим жидкому элементу (здесь T — температура). И если в процессе добавления поддерживается неизменный угловой момент, то это соответствует изменению массы-энергии
SMc2 = бИАннжект)/ы< (х19 Х2)9 (10.3.49
измеренной удаленным астрофизиком. Поэтому мы можем написать
(SMc%M0t AK = xI бЯполн (10.3.50)
U1 (Xі, я2)
для изменения полной массы-энергии при добавлении энтропии бд^полн к кольцу в точке (х1, ж2), в то время как масса покоя AM0 и угловой момент А К поддерживаются фиксированными.
Предположим теперь, что мы добавляем к кольцу момент, не изменяя массу покоя или энтропию кольца. Это можно сделать с помощью инжекционного процесса, аналогичного использованному выше. Пусть наш астрофизик бросает кусок массы с начальной энергией и моментом
б^(нач) = р№)9 8К=- р^ч) (10.3.51)
своему коллеге, находящемуся на кольце в точке (х1, х2). Коллега ловит этот кусок и измеряет его полную энергию:
Ш(иоШ) = р(пойм) = р(пойм) ut+ p<poflM) „ср =
= р|нач) Ut + ^нач) Ucp = бИ^(нач) ut __ SKu*. (1 0.3.52
Он не хочет оставлять сколько-нибудь энергии 6РУ(П0ЛН\ так как это будет изменять массу покоя и/или энтропию кольца. Но он хочет удержать момент SK= — — р^пойм). Поэтому он бро-
сает кусок обратно астрофизику с нулевым моментом, так что имеет место хорошо известный закон красного смещения:
SW^он) = бж("°йм> . (10.3.53) § 3] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗДЫ
303
Полная масса-энергия, попавшая на звезду и измеряемая удаленным астрофизиком, равна
бMc2 = bWl*s*> __ бі^(кон) = 51^(нач) _ 6РГ(нач) и ЪКи* =
Ut
(10.3.54)
т. е.
(8Mc%Mot S = Q (х\ X2) б К. (10.3.55)
Этот результат точно согласуется с соответствующим ньютоновским результатом.
Мы можем теперь скомбинировать уравнения (10.3.46), (10.3.50) и (10.3.55) в одно большое уравнение, которое описывает изменение полной массы-энергии звезды при малом изменении массы покоя 6М0, энтропии на единицу массы покоя S и момента А К кольца (X1X2):
Шс2 = Шо + *2) (ДДЭД + Q (xlt OK.
и1 (X19 X2) и1 (я1, х2)
(10.3.56)
Полное изменение массы звезды будет равно сумме (или интегралу от (10.3.56) по всем кольцам. (Очевидно, наше деление звезды на множество колец искусственно и необходимо лишь для ясности изложения. С равным правом можно рассматривать вещество звезды как непрерывное.)
В действительности, уравнение (10.3.56) дает лишь первый
порядок ^J- доли добавленной массы. Так как после добавления к кольцу массы покоя, энтропии и момента звезда слегка отклонится от состояния гидростатического равновесия, она начнет
колебаться с амплитудой и энергией 6И7<К0Л) —
— (~7Г~)2 — {"ж)*' ® конечном счете колебания затухнут, и звезда
перейдет в новое равновесное состояние, для которого 8М, бM01 б S и б К удовлетворяют (10.3.56) только в первом порядке.
Конечно, изменения первого порядка ответственны за равновесие, а изменения второго порядка являются решающими для устойчивости.
Вариационный принцип для равновесия вращающейся релятивистской звезды был развит Бардиным (1968b). Он рассмотрел звезду, сконструированную из большого числа жидких колец, пронумерованных лагранжевыми координатами х1 и х2. Каждое кольцо содержит фиксированную массу покоя АМ0(хг, х2), фиксированную энтропию Sfa11 X2) и фиксированный момент AK (х1, х2). Кольца занимают все мыслимые объемы (т. е. имеют всевозможные 304
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
плотности Po^1, ж2), обладают всеми мыслимыми угловыми скоростями ^(д;1, ж2), расположены во всех мыслимых направлениях по отношению друг к другу; их пространство—время описывается всеми мыслимыми метриками. Из всех таких конфигураций (т. е. наборов Ро(#\ х2), ?2(^1, х2), положений колец и gik (х1, х2)) в гидростатическом равновесии находятся те и только те конфигурации, которые экстремизуют полную массу-энергию М. Иначе говоря, конфигурации с экстремальной M являются решениями аксиально-симметричных, статических уравнений поля Эйнштейна. Этот вариационный принцип и его специализация для случая постоянной энтропии и однородной угловой скорости (Хартли и Шарп, 1967) могут оказаться полезными в будущем для численного анализа вращающихся, релятивистских звезд.
