Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(10.3.2) поправки к асимптотической форме метрики
- Iі + 0 (тї)] [dr2 + г2 dQ2 + г2 sin2 0 d^ * (10.3.36)
Здесь О (-j-jjr) — поправочный член, который зависит от точного выбора координат. Как и в случае невращающейся звезды, ньютоновская поправка — 2GMIrc2 к gtt дает полную массу и так же, как в слабом в поле (§9 гл. 1), недиагональный член gl(? дает полный угловой момент.
Предполагается, что «жидкость» внутри звезды вращается в ф-м направлении. Поэтому 4-скорость жидкости имеет вид
и1 = Ut (X1f X2); и* = и* (х1, X2); U1 = U2 = 0. (10.3.37)
Если удаленный наблюдатель с «рентгеновским зрением» следит за жидким элементом, расположенным в точке (ж1, ж2), он фиксирует вращение с угловой скоростью
Q (*if a») = *L= (10.3.38)
at и*
(Напомним, что собственное время, измеряемое его часами, совпадает с координатным временем t.) Используя тождество игщ = = 1, мы можем переписать 4-скорость в виде
Ut = Igit + 20&Ф + gcpcpQ2]"-1/*; и* = Qut. (10.3.39)
Заметим, что твердотельное вращение соответствует ?2(0:1, х2) = = const. В этом случае удаленный наблюдатель видит, что звездная жидкость вращается как твердое тело, и расстояние между соседними частицами всегда остается постоянным.
Обратимся теперь к энергетическим соображениям и вариационному принципу.
Вычислим сначала изменение полной массы-энергии звезды M при добавлении к ней единицы массы покоя. Ответ должен переходить в (10.3.23), т. е. oM/oMq = YStu если исключить вращение 8везды.
Мы добавим массу покоя бM0, используя следующую идеализированную процедуру. Астрофизик, находящийся вдали от звезды, бросает кусок с массой покоя SM0 в идеализированную трубу, вставленную в звезду, своему коллеге, сопутствующему жидкому кольцу в точке (хг9 X2). Коллега ловит массу, вставляет ее в жидкое кольцо и выбрасывает оставшуюся энергию назад в трубу к удаленному астрофизику. Затем астрофизик, используя 300
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
закон сохранения массы-энергии определяет изменение массы звезды.
Энергетический баланс этого процесса инжекции таков:
1) астрофизик бросает кусок массы покоя бM0 так, что кусок обладает нулевым начальным моментом и нулевой начальной кинетической энергией. Поэтому начальный 4-импульс равен
Pf^ = SM0C2; />ГЧ) = pfa4) = P{™4) = 0. (10.3.40)
2) Падающая масса (форма трубы такова, что масса не касается ее стенок) движется вдоль геодезической метрики (10.3.34). Из уравнения геодезической следует, что поскольку метрические коэффициенты не зависят от t иф, компоненты 4-импульса Pt и рф, «сопряженные» этим координатам, сохраняются. Поэтому когда падающая масса дбстигает коллеги астрофизика, находящегося на кольце в точке (ж1, х2) и тот ловит ее, 4-импульс массы равен
р(пойм) = р(нач) = р(пойм) = р(нач) =
р(пойм) ф р(нач)у р(пойм) ^ р(нач)^
3) Измеряемая коллегой астрофизика полная энергия, включая массу покоя бM0C2 и кинетическую энергию падения, пропорциональна проекции 4-импульса куска массы , на 4-скорость коллеги:
0ИГ(П0ЙМ) = р(пойм) J = p(nomut + р<дойм) и<р = р(нач) ^ =
= Ut (X19 X2) SM0C2. (10.3.42)
4) Из полной принятой энергии наш коллега использует величину (включающую массу покоя)
б^(инжект) = Jjl IpL9 х%) gM0 = бM0C2 =
= 6М0 (с2 + E + PV), (10.3.43)
которую он вставляет в звезду. Здесь х2) — химический потенциал (10.3.20). Используя эту формулу, мы предполагаем, что инжектированная масса покоя находится в термодинамическом равновесии с окружающим ее веществом, т. е. имеет такую же энтропию на единицу массы, что и окружающее вещество. Заметим, что бM0C2 есть добавленная масса покоя, SM0E — добавленная внутренняя энергиями SM0PV — работа, которую необходимо совершить против давления P окружающей жидкости, чтобы занять объем бM0V.
5) После инжекции у нашего коллеги остается энергия
6W(°CT> = б W(noiiM> — бИ^инжект>, (10.3.44)
(10.3.41) § 3] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗДЫ 301
которую он отправляет назад по трубе с нулевым моментом и кинетической энергией, взятой из самой 6И^0СТ),
6) По аналогии с уравнением (10.3.9) энергия, которую на последнем этапе принимает и измеряет удаленный астрофизик, равна
5^(конеч) = fw(0CT) (10.3.45)
Ut (х\ Я2) v '
(и* учитывает «красное смещение», в полной аналогии с коэффи-
(л 2 GAfW/. а
циентом Il--для невращающегося случая, с/тот множитель появляется всякий раз, когда энергия переносится с н у л е-вым угловым моментом между точкой (я1, х2) и бесконечностью).
7) Полная масса-энергия, добавленная к звезде, равна первоначально брошенной в.трубу бM0C2, за вычетом избытка энергии SWr(KOHen)j возвращенного обратно:
ЬМс2 = 6М0с2 — б №Чконеч> = б M0C2 — [ UtSM0C2 — |хб М0]!и1 =
Посмотрим теперь, что оставалось фиксированным в течение этого процесса. Мы сохранили неизменными энтропию на единицу массы покоя (т. е. на барион) жидкости в точке (ж1, х2) и полный угловой момент (но не момент на единицу массы покоя!). Чтобы сделать это яснее, представим себе, что х1 и х2 внутри звезды являются лагранжевыми координатами, которые прикреплены к кольцам вращающейся жидкости, и обозначим через
