Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Энергия частицы E0, измеренная, далеким наблюдателем, выражается через локально измеренную энергию E1 посредством
E0 = (E1+^) Y-^0 = (E1+^. (10. 3. 32)
Сохраняющейся величиной является именнб E01 и мы ищем минимум суммы (интеграла) E0 по всем частицам (по всему телу). При изменении числа частиц в какой-либо области пространства фор-/ д [(Яі+С3)л]\
мула у дхп—-Js = И' дает определение химического потенциала
на одну частицу.
Следовательно, условие минимума
6е0 = б J E0U dV = ^ а[(^+с2)уг1 е^Ьп dV = 5 tie^on dV
при дополнительном условии связи
N = ^ndV = const, 8N = J bndV = 0 § 3] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗДЫ 297
дает по методу Лагранжа
6е0 — А № = J — A) SndV = 0, ре** = A = const,
где А — лагранжев множитель. Это соотношение было получено выше более сложным способом.
Рассмотрим теперь перенос энергии из одной области в другую без изменения плотности частиц. Для локального наблюдателя имеет место формула dEx = TdS1 где dS — изменение энтропии, T — температура, опять-таки измеренная локальным наблюдателем. Существенно, что при обмене энергии сохраняется полная энергия. Условие равновесия дает
б J E0HdV = б J (Ei+c^ndV = 0, б J SndV = О, J (е* бE1- АбS) ndV = \ (е* g-1 - A) SSndV=
=J (e^T-A)8SndV = 0;
отсюда следует, что условие теплового равновесия есть
6>v/2T = т Yg^0 = const, (10.3.33)
в отличие от нерелятивистского условия T = const. Ясно, что оба условия совпадают в пределе, если ^00 везде мало отличается от единицы. В релятивистское выражение для теплового потока, переносимого теплопроводностью, также вместо VT войдет V (Т YSoо)-Дальнейшее обсуждение см., например, Торн (1967), гл. 3.
Как наглядно понять причину того, почему простое T = const не является условием термодинамического равновесия в ОТО? Понять это можно, вспомнив, что условием теплового равновесия является равенство нулю теплового потока, переносимого теплопроводностью. Теплопроводность пропорциональна длине свободного пробега атомов (в нейтральном газе), электронов (в плазме) или квантов (в высокотемпературной плазме). Надо рассмотреть, что происходит с распределением частиц, переносящих тепло во время их свободного движения в поле тяготения. Гравитационное изменение частоты квантов как раз соответствует изменении} температуры пропорционально g00*. Рассматривая бесстолкнови-тельные частицы с определенной массой покоя, мы убеждаемся, что то же относится к любым частицам.
б. Релятивистские уравнения для вращающихся звезд *). В предыдущем параграфе рассматривалось равновесие точно сферичес-
*) Этот раздел параграфа написан для нашей книги К. С. Торном. В основу параграфа легли работы Торна (1970), Хартли (1970), неоконченная
рукопись Бардина (1968). 298
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
кой невращающейся релятивистской звезды. Если принять во внимание вращение, теория становится значительно сложнее, и мы должны использовать множество приближенных схем, чтобы понять физические эффекты вращения. Но приближенные схемы не всегда необходимы. Многое можно сказать о точных свойствах полностью релятивистских быстро вращающихся звезд. Основой такого обсуждения служат, как и в предыдущем параграфе, энергетические соображения и вариационный принцип.
Прежде всего нам нужно выписать выражение для метрики, адекватное рассматриваемой задаче.
Мы будем предполагать, что вращение звезды стационарно и аксиально-симметрично, т. е. метрические коэффициенты и термодинамические переменные не зависят от времени t и угла ср поворота относительно оси вращения. Если мы обратим направление течения времени, то мы обратим также направление вращения звезды, в результате чего метрика изменится. Но если мы обратим направление течения времени (t — t) и затем обратим направление вращения (ср —> — ср), то звезда вернется в первоначальное состояние. Поэтому (при соответствующем выборе координат) метрика должна быть инвариантна при замене t — t, ф — ф, т. е. gtl = gt2 = gcpi = &Р2 = 0, так что
ds2 = gtidt2 + 2gi(pdtd(f + g^d(f2 + S Sab dxAdxB. (10.3.34)
А, В
Здесь заглавные буквы нумеруют координаты х1 и х2; метрические коэффициенты зависят только от х1 и X2. При соответствующем выборе X1 и X2 наши координаты вдали от звезды будут обычными сферическими координатами
X1-^r9 x2—>Q, ds2 -> с2 dt2 - dr2 - г2 (dQ2 + sin2 Є сйр2). (10.3.35)
Напомним, что неисчезающая функция ^cp есть проявление «увлечения» вращением звезды инерциальной системы отсчета Это «увлечение» (функция gt<p) заставляет гироскоп на или вблизи вращающейся звезды прецессировать по отношению к удаленной инерциальной системе отсчета, т. е. по отношзнию к «удаленным звездам» (§ 9 гл. 1, § 3 гл. 4). Функция вызывает также гравитационный эффект Зеемана (§ 10 гл.4). Другой недиагональныа член в метрике, g12, не имеет физического смысла и его можно исключить подходящим выбором X1 и X2.
Можно легко определить полную массу —¦ энергию M и угловой момент К вращающейся звезды, наблюдая искривление пространства вдали от звезды, т. е. исследуя следующие после § 3] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗДЫ 299
