Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Можно использовать также смешанные компоненты: Аналогично обобщается понятие тензора более высокого ранга. § 5] ВЕКТОРЫ, ТЕНЗОРЫ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 27
Компоненты gib, как показывает закон их преобразования, составляют тензор. Этот тензор играет в теории фундаментальную роль и носит название фундаментального метрического тензора. Определитель
g = \gik\ (1-5.7)
называется фундаментальным определителем. Величины
^ = 4"' (1.5.8)
где Aih — алгебраические дополнения элемента ^ijc, называются контр вариантными компонентами метрического тензора. Из (1.5.8) следует, что
gjm = b?, (1.5.9)
где д? — символ Кронекера. Отсюда, используя (1.5.5), находим
Bik = gilgmHBlm. (1.5.10)
Таким образом, если опускание значков производится с помощью ковариантных компонент gik, «то их поднятие — с помощью контрвариантных компонент glh.
Смешанный тензор gl равен символу Кронекера gl = Образуем величину A1Bit Она является скалярным произведением векторов и не изменяется при преобразовании координат, В частности, квадрат длины вектора есть
A2 = AiAh (1.5.11)
Аналогично можно составить скаляр из двух тензоров.
AikBik = 44 =AikBik.
Все три записи эквивалентны. В частности, если второй тензор — фундаментальный, то AlKgij{ = A1i называют следом тензора.
Подобным же способом из тензоров высшего ранга можно образовывать тензоры более низкого ранга. Например,
AhmgT = A-Ili = Akl-
Такая операция называется свертыванием тензоров.
В криволинейных координатах обобщается также понятие дифференцирования векторов и тензоров. Ковариантной производной (обозначается точкой с запятой) контрвариантного вектора и ковариантного вектора называются величины (тензоры) 28
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
соответственно
-^T+ TiaiB1, (1.5.12)
Buk = ^-TkBl. (1.5.13)
Здесь T1mn — символы Кристофеля (не тензоры!), определяемые выражениями
гг _ 1 JkldSkm , 9Skn dSmn) (А с- ,,,
Tmn ~2 S + (1-5-14)
В декартовых координатах, очевидно, все Tmn = 0, и ковари-антное дифференцирование сводится к обычному. Аналогично дифференцируются тензоры:
Bfl + TlnlBmk + TknlBim, (1.5.15)
д Bjc
Bk; I = —j--ГUiBm + TmlBh , (1.5.16)
OXl
dBт т
Вік; I = -TilBmli — TiaBim. (1.5.17)
д*
Полезно заметить, что из (1.5.12), (1.5.14) и выражения для ds2, можно получить следующую формулу для ковариантной расходимости вектора:
Bli = * 'У=?*. (1.5.18)
' Y-g ^ v ;
Наконец, приведем уравнение в криволинейных координатах, которое определяет геодезическую линию, соединяющую в 4-мерном пространстве две точки (в плоском пространстве это прямая):
(1-5-19)
Движение тела по инерции в пространстве Минковского, как известно из СТО, изображается прямой (и к тому же временипо-добной) линией. Следовательно, (1.5.19) есть уравнения движения тела по инерции, записанные в криволинейных координатах неинерциальной системы отсчета. Дифференциальное уравнение для геодезической в искривленном пространстве — времени имеет точно такую же форму, что и уравнения (1.5.19) для прямой линии в плоском пространстве — времени в криволинейных координатах. ДИНАМИЧЕСКИЕ И КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
29
§ 6. Динамические и кинематические величины
Величины gik в (1.4.7) составляются из производных преобразования (1.4.4), определяющего движение системы отсчета относительно исходной инерциальной системы. В частности, в
gm входят , т- е- скорости. Поэтому естественно, что gile
содержит информацию не только о течении времени и геометрии системы, но и о ее ускорениях и деформации. Приведем здесь окончательные формулы для вычисления динамических и кинематических величин, отсылая за подробностями к работам Зельма-нова (1944; 1959b). Трехмерный вектор ускорения, котороо испытывает относительно системы отсчета свободное покоящееся в данный момент в этой системе тело, определяется, как будет показано ниже, выражением
= (а =1,2,3). (1.6.1)
goo v 7
Величины Гоо определены в предыдущем параграфе [см. (1.5.14)], Fa образует в системе отсчета поле инерциальных сил. Вектор Fcl является трехмерным и для операций с ним надо использовать тензор /г*a? (см. § 4 этой главы). Напомним, что для вычисления величины вектора Fa (в данном случае 3-мерного), т. е. величины ускорения, необходимо образовать скаляр [см.(1.5.11)]:
F = Y FaFa = Y FrxFth*
a?.
Например, на вращающемся диске из (1.4.6) находим F1= -?!, F2 = F* = О, F= ^r
Q2r2 ' ~~ > ~~ QV2
1 — -зг
C2
Вращение системы отсчета, т. е. поле кориолисовых сил., определяется 3-мерным тензором угловой скорости вращения С помощью этого тензора можно вычислить 3-мерный вектор угловой скорости вращения *) Qa:
Qa=4"8a^?Y' (1'6'2)
Здесь 8a?v определяется следующим образом: е123 =
любая перестановка индексов меняет только знак компоненты; если хотя бы два значка совпадают, то ea?Y = 0. Тензор угловой
*) Мы обозначаем здесь вектор Q^, чтобы не путать с вектором Q нереля-тцвистской теории, зо
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
скорости вращения определяется с помощью выражений
