Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
В важном случае постоянной энтропии имеются физически наглядные общие свойства решения уравнений равновесия. В этом случае (опуская S = const) имеем P = Р(P0), р = р(р0) и можно ввести химический потенциал вещества как однозначную функцию плотности массы покоя
с2 =с2 ^+=с2+^+(10-3- 20>
*) Математическую трактовку критерия устойчивости см. в приложении к книге Уилера, Гаррисона, Вакано, Торна (1967). 294
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
Химический потенциал определяется как приращение энергии системы при добавлении единицы массы покоя. Термодинамическое соотношение между удельной энергией E1 и удельным объемом V на единицу массы покоя AE1 = —Р dV дает выражение для соответствующее классической термодинамике. Член с2 связан с тем, что в |х включена масса покоя, a E1 определено за вычетом массы покоя.
Из уравнения гидростатического равновесия для звезды с,постоянной энтропией следует
= const = Сv<*>'* = = с2 J1 _ Ц^)4*. (10. 3. 21)
Правая часть получается подстановкой значений на границе звезды г = R:
v(R) = -X(R)1 P= 0, E1= 0, р = р0, її = с\ (10.3.22)
Применим вариационный принцип к системе, состоящей из равновесной звезды (масса M, масса покоя M0), к которой добавлена еще малая масса бM0 вещества. Получилась новая звезда с M0 = = M0 + бM0. Поскольку добавленное количество мало, то и новая звезда находится в состоянии, близком к равновесию. Вариационный принцип означает, что масса новой звезды не меняется при малых изменениях распределения вещества, т. е. она одна и та же, независимо от того, где находится добавленное вещество. Если вещество добавлено на поверхности, то
Если вещество добавляется не на поверхности, а в слое на радиусе г, то нужно учесть не только изменение р(г), но и изменение Я(г) при r<r' <R. G учетом уравнений (10.3.19а, Ъ, с) и (10.3.21), следующего из них, получим, что изменение ЬМ действительно не зависит от г и всегда дается выражением (10.3.23).
Теперь покажем, как релятивистские формулы переходят в формулы нерелятивистской теории. Уравнёние гидростатического равновесия (10.3.11) принимает нерелятивистскую форму (10.3.12), если опускать член rsP/c2 по сравнению с т(г) и пренебречь членом GMIc2 по сравнению с г. В этом случае т(г) имеет тот же смысл, что и в нерелятивистской теории. Ограничиваясь первыми членами разложения в ряд по малым X, v, получим
6М0 = р0бУ,
(10. 3. 23) § 3] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗДЫ 295
из (10.3.4) -(10.3.6)
v' г К г2 = JLp ca * (10. 3. 24)
^ 2 j/_ г о; *[% Il I ь. -h Ioj (10.3.25)
г 1 X __ г К c2 (10. 3. 26)
Сложив уравнения (10.3.24), (10.3.26) с удвоенным (10.3.25), получим
v" + 2-^ = -?-(e + 3P). (10.3.27)
Левая часть этого уравнения есть лапласиан Av для A = v(r), так что при P рс2
Av - ^ (рС2 + ЗР) = 4ябр. (10. 3. 28)
Отсюда видно, что ньютоновский гравитационный потенциал и v связаны (при V 1) формулой
Ф (Г) = 4 vW- (10.3.29)
Наконец, также в первом порядке покажем, как из формул ОТО получается ньютоновское выражение энергии звезды. Мы должны вычислить величину E1 определенную согласно (10.3.17)
E = (М- M0) C2 = C2I (pe-V2 __ Ро) dV, (40. 3. ЗО)
где вместо 4%r2dr подставлено e~^2dV и использовано выражение (10.3.9). Записывая
р = р0(1+4), е-» = =I-S^l
и пренебрегая (в первом порядке) произведениями малых величин, получим
(10. 3. 31)
где
dm = р 0dV.
Различие между ОТО и ньютоновской теорией возникает во втором порядке, соответствующие члены содержат с2 в знаменателе, их расчет сложнее и будет проведен позже в приложении II к § 4. 296
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
В заключение этого пункта рассмотрим условия термодинамического равновесия в ОТО при температуре, не равной нулю.
Удобнее рассматривать условия равновесия в гравитационном поле, созданном какими-то другими массами. Условия равновесия формулируются как минимум энергии при данной энтропии и числе частиц. Во всех случаях проверка того, что равновесие имеет место, заключается в мысленном проведении вариации: переноса какого-то (малого) числа частиц или малого количества энергии из одного места в другое и вычислении соответствующего изменения энергии или энтропии.
При рассмотрении термодинамического равновесия во внешнем поле не нужно учитывать изменение того гравитационного поля, в котором рассматривается равновесие. Рассмотрение в поле других масс и в собственном поле для уравнений равновесия эквивалентны, так как рассматривается только первая вариация. Однако такой эквивалентности уже нет для второй вариации (вторая производная, члены пропорциональны квадратам вариаций), от знака которой зависит устойчивость равновесия. Поэтому при рассмотрении устойчивости необходимо учитывать, что в случае звезды мы имеем дело с веществом в собственном поле тяготения, а пе во внешнем поле, и необходимо учитывать изменение этого поля при возмущениях распределения массы и энергии.
Однако мы имеем дело с более простой задачей равновесия и поэтому можем рассматривать вещество в постоянном внешнем поле тяготения.
