Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
dP
уравнение, в котором -^r выражено через P1 е, т, г *):
G (р +-J-) О»+ 4«* -J)
dP =__
(10.3.11)
Это уравнение является обобщением на случай ОТО уравнения гидростатического равновесия нерелятивистской теории
W = -^-9. (10.3.12)
Получение условия равновесия (10.3.11) из уравнений, определяющих метрику, есть частный случай того факта, что в ОТО уравнения поля содержат в себе уравнения движения. Мы задались условием, что метрика не меняется со временем и отсюда получили такое распределение давления и плотности, которое обеспечивает равновесие вещества.
Практически построение модели звезды при заданном уравнении состояния Р(р) может быть произведено путем численного интегрирования (10.3.11) с учетом определения т{г) по формуле (10.3.7). При этом удобно начать из центра звезды, задав рС,РС\ при малых г решение всегда регулярно,
г3 D D 2KGr*! . P0Xi , 3Рс\
т = 4ярс -^1P = Pc —3— [ рс + ) [ рс + —f J
Численное интегрирование приводит к р = 0, P = 0 при определенном г = R. При этом, как и в нерелятивистском случае, меняя начальные условия, Pc от 0 до оо, получим весь набор решений. Однако заранее не известно, для каких масс будут получены решения при данном рс.
Как подробно объяснено в разделе И, следует различать плотность вещества р, включающую все формы внутренней энергии (в том числе и массу покоя), и величину p0 = п/А, где п — плотность числа барионов и А — число Авогадро. Величину р0 мы называем плотностью массы покоя.
*) Это уравнение можно также непосредственно получить из соотношения (1.8.8а). 292
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
В метрике (10.3.1) элемент объема <Шг и объем шарового слоя dV звезды равны соответственно
OV1 = e^r2 dr d cos QAf9 dV = AneWr2 dr. (10. 3.13) Полное число барионов в звезде дается выражением
R
N = ^n dV= 4я J п (г) е^гЧг. (10. 3.14)
о
Удобно рассматривать выражение, пропорциональное JV, имеющее размерность массы:
R
M0 г -j = ^ podf = 4л ^ p0 (г) (10. 3.15)
о
Между JP, р и P0 имеется термодинамическое соотношение (справедливое при постоянной энтропии, в частности, для холодного вещества, т. е. при S = 0):
\JL = \pd— для Ро->0,
Po C2 Po ' ро " ги '
(10.3.16)
Из этого уравнения мы видим, что величина M0 для звезды равна массе, которую имели бы все барионы звезды, если бы они были распределены с малой плотностью в виде наиболее стабильных ядер с электронами (Fe56) в таком большом объеме, чтобы можно было полностью пренебречь взаимодействием между атомами, как близкодействующим, так и гравитационным. Величина
E = (М - M0)с2 (10.3.17)
есть энергия звезды, отсчитанная от массы покоя. Очевидно, E отрицательна для устойчивых звезд. Энергия, излучаемая при сжатии вещества малой плотности в звезду, равна —E.
Величина V играет роль гравитационного потенциала. От разности v(r) — v(oo) зависит красное смещение кванта, испущенного в точке г и наблюдаемого на бесконечности. В уравнения равновесия (10.3.4 — 10.3.6) входят только производные v', v", но не само v, которое можно выбрать произвольным. Принято нормировать v так же, как гравитационный потенциал ньютоновской теории, условием v(oo) = 0. Это соответствует выбору координатного времени на г = оо таким, что оно совпадает с физическим временем.
В общем случае, когда энтропия не постоянна, уравнение равновесия (10.3.11) эквивалентно вариационному принципу, согласно которому энергия (масса) всей системы минимальна при данном общем числе барионов и данном распределении энтропии по бари- § 3] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗДЫ 293
онам. Математически утверждается, что экстремален интеграл (10.3.9) при дополнительном условии постоянства интеграла (10.3.14). При этом р = р(п, S) есть уравнение состояния и S задано как функция F числа барионов внутри данной сферы:
г
F = ^ndV= 4jt J пеУ2г2dr; S = S(F). (10. 3.18)
о
Величина А,(г) не входит в интеграл (10.3.9). Однако, варьируя распределение плотности в пространстве, необходимо учитывать вариацию X1 поскольку эта величина входит в дополнительное условие постоянства интеграла (10.3.14).
Наиболее естественно взять в качестве переменной интегрирования именно F1 т. е. число барионов внутри данного слоя. Величина F может быть названа лагранжевой координатой слоя. В качестве искомой функции возьмем r(F). В таком случае
nW = (Ю.3.19а)
F F
т (F) = J pe-mV = jj р?г*/2 *L9 M = т (N)9 (10. 3.19Ъ)
о о
e^ = 1 -2Wr- (10.3.19с)
Здесь р = р(тг, S), величина n(F) дается выражением (10.3.19а), a S(F) определяется начальным условием задачи. Из (10.3.19Ь) непосредственно видно, что при вариации r(F) —> r(F) + бr(F) в вариацию массы вносит вклад и возникающая вариация X(F). Находя экстремум M (уравнение 10.3.19Ь), мы получаем в качестве уравнений Эйлера — Лагранжа уравнение гидростатического равновесия (10.3.11).
Строго говоря, условие равновесия требует лишь того, чтобы M как функционал от r(F) был стационарен (экстремум, равенство нулю первой производной). Если M имеет минимум, т. е. вторая производная положительна, то равновесие к тому же устойчивое *).
