Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
dE I CdEi п Cmdm
При E1 = A1P1Jn получим
dE I 3 п 3 — п
— = Ь W = -S-U, E = PF + U = —g U.
При произвольном уравнении состояния
dEi 1 dEi P
и мы получаем
dV ~ P2 d(J-,j ~~ P2 '
Г dE С dm С
U = — 3 ^ PdV.
Теперь рассмотрим звезды, в которых E1 = IiAp1Jn и А постоянно; см. § 2, раздел а. Из размерности очевидно, что распределение плотности в таких звездах при различной массе подобно (распределениеможет зависеть только от безразмерной величины п; из А и G нельзя построить безразмерной комбинации). Поэтому
M2
E = ManA91Jn - Gb . м Wa = аМ9^п - ?MeA pV« .
му
Из условия равновесия находим
О 2 v ЗП 2П
р C = [-Y--M3 )3'п = T М3~п.
Заметим, что при п < 3, т. е. для устойчивого равновесия, с ростом M всегда
увеличивается плотность в центре рс. Для радиуса звезды имеем R ~ ) 3
З (I-Tl)
^ м 3-71 ^ Следовательно, при 1 < п < 3 радиус уменьшается с увеличением массы, для п = 1 и P = Ap2 радиус не зависит от массы, только для 1 радиус растет.
Подставляем выражение рс в формулу для Е:
6-71
Е = Ь*М3=п. § 3] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗДЫ
289
Из предыдущей теоремы вириала мы знаем, что
при этом очевидно, что E < 0 и 6 < 0.
Теперь рассмотрим два способа увеличения массы звезды: 1) от равновесной конфигурации с массой M перейдем также к равновесной конфигурации с массой M + dM. Очевидно, что
Jg 5 .и р
E (Af+ dM) -E (M) = dE = ш dM =
2) к равновесной конфигурации с массой M прибавим массу dM, поместив ее на поверхности звезды, где давление равно нулю. Внутренняя энергия прибавленной массы равна нулю (так как P = 0), а гравитационная энергия, оче-GM
видно, будет——jjr dM. Следовательно,
GM
с?Е = — dM.
Теперь в силу вариационного принципа утверждаем, что оба выражения dE совпадают: во втором способе мы получили распределение плотности, отличающееся от равновесного при массе M + dM, так как прибавка лежит на поверхности. Однако в силу того, что равновесное распределение экстремально, отклонение от равновесного распределения может вызвать изменение в E лишь второго порядка малости, т. е. в данном случае, когда добавка массы dM мала, пропорциональное (dM)2.
Итак (используя также выражение для U), получим
5 — гс E GM__3 _ 3 GM*
3 — пМ R ' U — 3— п Е — 5— п R '
Заметим, что последнее соотношение остается справедливым и при п = 3, тогда как в предыдущем появляется неопределенность. Из приведенного выражения немедленно следует, что решение уравнения равновесия при п = 5 является вырожденным, R —» оо.
Наконец, ясно, что в случае изэнтропического решения с произвольным уравнением состояния, а также и при замене ньютоновской теории на ОТО остается в силе связь между производной энергии по числу частиц N и гравитационным потенциалом на поверхности звезды (см. § 8 гл. 10). Однако в силу того, что E (M) или E (N) не имеет теперь простого аналитического выражения, такие простые изящные формулы из этой связи не получаются.
§ 3. Релятивистские уравнения равновесия звезды
а. Равновесие в отсутствие вращения. Прежде чем идти даль ше, мы должны сформулировать уравнения равновесия звезды в ОТО. Рассмотрим сферически-симметричное распределение масс в состоянии механического равновесия. Это значит, что рассматривается звезда, у которой можно пренебречь вращением и упорядоченным магнитным полем. Звезда рассматривается в полном гидродинамическом равновесии; если звезда находится в состоянии медленной эволюции, то необходимо, чтобы при 290 РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД tiyi* 10
этом скорость и ускорение слоев вещества были малы, а также мал и поток тепловой энергии (более точные оценки малости будут даны позже). Считая, что вблизи звезды нет других тел, ищем сферически-симметричное и статическое решение для поля тяготения и для метрики.
Ищем метрику в виде
ds2 = еЧЧР - еЧг2 - г2 (de2 + Sin2 Є d Ф2). (10. 3.1)
В статическом, равновесном случае
X = X=V = T10 = 0. (10.3.2)
Для вещества (жидкости или газа), покоящегося в рассматриваемой координатной системе, имеет место закон Паскаля
T11 = T22 = Tl = -P1 T00 = 8 = рс2. (10.3.3)
Подставляя выражения (10.3.1) — (1Q.3.3) в уравнения Эйнштейна, получаем
S = ->(- + ?)- (10.3.4)
"=-.--(^-^)+ ^r- (10.3.6)
Уравнение (10.3.6) интегрируется независимо от остальных. Вводя равенства
г
т (г) = 4я j ргЧг9 т' = 4яе<г2г, р = е с"2 (10. 3. 7)
о
и используя граничное условие А,(0) = 0, получим*)
= (10. 3.8)
Это уравнение справедливо как внутри звезды г < R1 где р > 0, так и вне звезды. Очевидно, что в любой точке T1 вне звезды
гі R
т (T1) = 4я J ргЧг = 4л J pr2dr = т (R)9 (10. 3. 9)
о о
где R — радиус звезды. Из вида метрики при больших г следует, что M есть полная масса звезды — та величина, которую внешний наблюдатель определяет как массу звезды по ее полю
*) О сингулярных решениях с X (0) ф 0 см. ниже. § 3] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗДЫ 291
тяготения.
m(R) = М. (10.3.10)
Используя (10.3.4), можно выразить v' через P1V и г; затем, взяв производную, получим выражение для v", куда войдет Pr наряду с P, X1 X', г. Комбинируя это уравнение с уравнениями (10.3.4) — (10.3.6) и (10.3.8), исключаем v", у'Диі'и получаем
