Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
(отнесенной к центральной плотности) от безразмерной массы т!М
Интересующая нас функция я|) для Y =4/3 (п = 3) изображена на рис. 35. Отклонения термодинамического уравнения состояния от соответствующего п = 3 (т. е. от P = K(s)p'/*) можно рассматривать как малые поправки.
Сделаем еще одно важное замечание. Эффекты общей теории относительности становятся определяющими, когда гравитационный потенциал ф становится порядка с2. Иными словами, для этого необходимо, чтобы размер тела/? был сравним с rg. Казалось бы, во всех случаях, когда R rg, эффекты ОТО не могут качественно повлиять на строение небесного тела и его эволюцию. Однако для звезды с (у — 4/3) 1, находящейся на границе устойчивого равновесия, это не так. В этом случае достаточно даже малой поправки на ОТО, чтобы нарушить устойчивость равновесия.
По замечанию Каплана (1949b) [см. также Каплан, Лупанов (1965); Фаулер, 1964а, Ь; Чандрасекар (1964а, Ь, 1965); Зельдович, Новиков (1965)], в этом случае уже малые эффекты ОТО приводят к качественным изменениям картины; поэтому эффекты ОТО также можно рассматривать как поправки к ньютоновской теории с п = 3, взятой в качестве нулевого приближения. Все поправки как на отклонение уравнения состояния,-так и на ОТО, вычисляются по этому распределению и поэтому оказываются функциями одного параметра — центральной плотности рс.
Поправки в уравнении состояния и поправки, связанные с ОТО порядка а = AE1IE1 1, в принципе вызывают изменение того же порядка а самой функции я|); однако вследствие экстремальных свойств^ как решения нулевого приближения изменение порядка а вызывает изменение энергии порядка а2, так как первая вариационная производная полной энергии по функции я|) равна нулю.
Поэтому вычисление поправок с помощью невозмущенной эм-деновской функции распределения я|) дает в точности первый (порядка а) член разложения энергии по степеням а.
В этом смысле и можно говорить об асимптотически точной (с ошибкой — а2) теории равновесия звезд с (у — 4/3) —а.
Чем дальше отходить от критического состояния у = 4/3, тем количественно менее точными становятся найденные выражения. Однако качественно все выводы однопараметрической теории (с нулевым приближением Y = 4/3) остаются справедливыми, да и количественные оценки меняются не очень сильно. В качестве иллюстрации на рис. 35 дана функция Эмдена г|) для Y = 5/3 (уравнение состояния идеального невырожденного одноатомного газа), которая не слишком отличается отя|) дляY — 4/3. § 2І АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛИ>ГРОПНЫХ ГА300ЫХ СІФЕР 287
Как уже подчеркивалось, для наших целей особенно важны критические состояния, а для состояний, далеких от критического, вполне достаточно приближенных оценок. По этой причине в дальнейшем используется однопараметрический метод.
ПРИЛОЖЕНИЕ к § 2
Вывод теоремы вириала и выражения для гравитационной энергии с помощью вариационного принципа
Нише с помощью вариационного принципа будут получены два полезных соотношения:
1) между полной энергией звезды и ее гравитационной энергией (теорема вириала) и
2) между радиусом звезды и ее гравитационной энергией.
Эти соотношения относятся к звезде, состоящей из вещества с политропическим уравнением состояния P = Лр1+1/п; из этого уравнения состояния следует, что энергия единицы массы E1 = пАр1^n = пР/р (за нуль принята энергия вещества, охлажденного путем адиабатического расширения до нулевой плотности). Для первого соотношения несущественно, является ли А = A (S) постоянной по звезде, для второго соотношения постоянство А необходимо. Оба соотношения хорошо известны в классической теории равновесия звезд (см. формулы (10.1.11) — (10.1.13)), где они выводятся из дифференциального уравнения равновесия. Вывод этих соотношений из вариационного принципа (ВП) полезен как упражнение на применение ВП, а также и потому, что смысл соотношений предстает в новом свете.
Итак, записываем полную энергию звезды в виде
^ С _ Г mdm
ft = \Ei{m)dm — G\ -у- = W + U1
где т — масса, расположенная внутри данного слоя, а интегрирование ведется от m = 0 (центр звезды) до 771= M (наружная поверхность, M — полная масса звезды). Смысл обозначений: W — внутренняя энергия всего вещества, U — гравитационная энергия. При этом
dm = р4я r2dr.
Распределение плотности полностью определено, если задана функция г (т), т. е. задано расстояние от центра сферы, заключающей массу вещества т. В терминах гидродинамики г есть эйлерова координата, т — разновидность лагранжевой координаты частицы. Зная г (т), найдем
__ 1 I dr \-1 р— 4яг2 \dm 1 '
Удельная энергия вещества зависит от плотности.
Согласно вариационному принципу в состоянии равновесия E имеет минимум *) при данной массе М. Следовательно, при любом изменении г (т) первая производная E равна нулю.
*) Минимум соответствует устойчивому равновесию. Для дальнейшего достаточно, чтобы E было экстремально. 288
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
Рассмотрим гомологическое преобразование, т. е. подобное г (т) = = аг0 (т) расширение (а > 1) или сжатие (а < 1) звезды, и найдем
