Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
7,0 т/М
P ( т \
Рис. 35. Функция Эмдена = Ф^-^р]
для индекса политропы п = 3 (y=);
для сравнения нанесена кривая
п = 1,5 (y 8=5"J") • Асимптотика кри-
dp т
вых: -з--> оо при -T7-
dm M
284
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
В этом случае давление и плотность в различных местах связаны политропным степенным законом
P = K1 рЛ (10.2.18)
Показатели у' и у" следует отличать друг от друга. Показатель у' дает зависимость P от р, когда сжатый кусок вещества расширяется без отвода или притока тепла. Другой показатель у" характеризует распределение давления и плотности по радиусу звезды. Ясно, что зависимость р от г определяется у".
Первый показатель вошел при рассмотрении устойчивости. Значение у'= 4/3 является критическим для устойчивости относительно радиальных возмущений. Эмденовские решения для политроп с у"<С 4/3 (т. е. п >3) имеют смысл до тех пор, пока у' 4/3. Очевидно, всякий раз, когда у" отлична от у\ энтропия переменна. В случае у' =f= у", s =/= const формулы (10.2.12) должны быть изменены на
P - GM*
-cTmB —
-грав - R Ь-п" >
P - P п' _ GM* п'
¦^внутр — -cTpaB — ~В~ 5_п" {
„ _ GM2 3 — п'
•^полн -
R 5 — п" •
(10.2.19)
Показатель адиабаты зависит от свойств газа, как было показано в главе, посвященной уравнениям состояния: мы имеем у' = 5/3 для нерелятивистского вырожденного (s = 0) или невырожденного (5 ф 0) газа, у7 = 4/3 для релятивистского газа, включая случай релятивистского вырожденного электронного газа и газа, в котором преобладает давление излучения.
Показатель политропы у" зависит от распределения энтропии по радиусу звезды. Это распределение определяется теплопроводностью и генерацией ядерной энергии. Распределения давления и плотности могут удовлетворять точному степенному политроп-ному закону только случайно. Однако во многих случаях истинный закон близок к политропному.
Существуют важные ограничения на возможные значения у' и у". Как мы уже отмечали, звезда будет устойчива относительно расширения или сжатия при у' > 4/3. То же ограничение следует из требования, чтобы полная энергия звезды была отрицательна, т. е. что звезда гравитационно связана.
Можно показать, что устойчивость звезд относительно конвективных движений требует у' > уОчевидно, в этом случае K(s) и S растут с ростом радиуса. К и s минимальны в центре звезды. Грубо говоря, это соответствует ситуации, когда легкий газ в звездной атмосфере лежит поверх тяжелого газа в ядре § 2І АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛИ>ГРОПНЫХ ГА300ЫХ СІФЕР 285
звезды. В противоположном случае у' Cy" энтропия максимальна в центре.
Чтобы оценить конвективную устойчивость, нельзя просто сравнить действительную плотность в двух различных слоях звезды — такое сравнение достаточно только для несжимаемой жидкости. Для газа мы должны сравнить плотность на определенном радиусе T1 с плотностью, которой обладал бы газ, перемещенный из начального равновесного положения г2 в T1 и расширенный адиабатически до давления P1. Такое сравнение плотностей дает хорошо известный критерий Шварцшильда для конвективной неустойчивости ~ 0.
ds
В формальной теории малых возмущений <^0 вызывает
неустойчивость равновесной конфигурации относительно нерадиальных возмущений, в которых материал погружается внутрь в одной части звезды и всплывает к поверхности в другой части. Для данного распределения энтропии этот процесс перемешивания закончится, когда материя с минимальным s окажется в центре и у' >y". Рассуждение легко обобщить на случай, когда неоднородна не только энтропия, но и химический состав.
в. Энергетический подход к теории равновесия звезды, состоящей из вещества Cy1 близким к 4/3. Исследование зависимости энергии звезды от одного параметра (средней или центральной плотности, или же от радиуса), проведенное выше, является грубо приближенным, иллюстративным приемом, ибо в действительности надо рассматривать энергию не как функцию одного параметра, а как функционал, -Flp(TTi)]. Однако есть весьма важный случай, когда энергетический подход с однопараметрической зависимостью энергии становится асимптотически точным. Это случай веществ, показатель адиабаты которого близок к у = 4/3 (индекс политропы п ^ 3 *)). Случай этот важен потому, что, как мы видели выше, именно значение у = 4/3 является критическим при переходе от устойчивости к неустойчивости. Имеются конкретные примеры, когда уравнение состояния: вещества в звездах имеет показатель адиабаты, близкий к 4/3. Одним из таких примеров являются белые карлики. Нас в дальнейшем будут интересовать именно параметры критических состояний. Поэтому случай (у — 4/3) 1 будет исследован особенно подробно, а решение ньютоновского уравнения равновесия для состояния CY= 4/3 будет рассматриваться в качестве нулевого приближения.
Для каждого y = const, как мы видели в пункте «а», имеется вполне определенная форма распределения плотности в звезде, т. е. определенная зависимость безразмерной плотности
*) Для простоты возвращаемся к случаю s = const, у/ = у", хотя muq-гие выводы можно перенести и на -у' ф уп. 286
