Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
r = al- a = (10.2.4)
В обычных переменных уравнения гидростатического равновесия имеют вид
dP___ Gm(r) dm _ , „ ч dr * г» ' dr — WP»
1 d(r*dP\ (10-2-5>
15- W I—TfrH "4jigP- J
В новых переменных (10.2.3) — (10.2.5) эти уравнения принимают форму
т^8!5^=-9"; (1°-2-6) § 2І АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛИ>ГРОПНЫХ ГА300ЫХ СІФЕР 281
это так называемое уравнение Лейна — Эмдена. Как отмечено выше, постоянные а и X выбраны так, что в центре звезды выполнено граничное условие
0 = 1 при 5 = 0, (10.2.7)
а в (10.2.6) коэффициент при 0П равен — 1.
Уравнений (10.2.6) и (10.2.7) достаточно, чтобы выполнить интегрирование для данного п от центра звезды к поверхности. Получающееся решение 0П (?) является уменьшающейся функцией от радиуса При определенном значении ? функция Э обращается в нуль: On(^1) = 0, = ^(тг). Это значение ? соответствует, очевидно, поверхности звезды.
Важной величиной является интеграл ^ 0Из уравнения
о
(10.2.6) мы видим, что
j:
^= - % (?=^ = $ 0n^- (10-2-8) 0
Значения ^1, интеграла (10.2.8) и некоторых других величин для различных значений п приведены ниже в таблице. Обратное преобразование к физическим переменным имеет вид
JL - JL . _Р_ - An. i?L — UUL (ІО 2
л - ь ' Pc ' Pc - S13 * (1и'ЛУ)
Из этих формул можно сделать важные выводы, даже не зная численных значений (X1, и т. п.
Пусть задана масса M модели и свойства газа (тг, К). Каковы будут равновесные радиус и плотность звезды в центре? Комбинируя выражение (10.2.9) для р с уравнением (10.2.4), находим
* г M Г 4JtG3 lV2]2n/(3-n)
Непосредственно из этого уравнения можно видеть, что значение п = 3, Y = I + 1/тг = 4/3 является критическим: для п < 3 (Y > 4/3) величина рс растет с увеличением M, что является нормальным поведением для стабильной звезды в равновесии. Если к поверхности звезды добавить дополнительную массу, звезда сожмется, ее плотность и давление увеличатся так, что возникнет восстанавливающая сила, поддерживающая эту массу. Читатель может применить аналогичный аргумент для п> 3 (Y < 4/3) и убедиться в неустойчивости для этого случая. 282
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
Комбинируя приведенные выше уравнения, мы получаем следующее выражение для радиуса звезды как функции от М, К, п:
71-1 3—771 771—3 3 (71+1) 3-7П
R = M 3-п #2(3-71) Qpi (3—71) (4Я)2(3-П) (д 1)2 (з-п) Х
X Si (п) [(X1 (n)]-2n/(3-n) . (10. 2.11)
Можно привести также выражения для внутренней энергии, гравитационной энергии и полной энергии политропной звезды. Вывод их содержит теорему вириала; мы опускаем этот вывод и приводим только определения и результаты (подробный вывод см. в приложении к § 2):
Явнутр = J 7=1 -f dm ^ nMKPTW J епП2 dl = ^2. f
гт _ r?mdm GM2 3
рав - _(r) *~T~ ~ "IT ' '
Euom = ^внутр + ^грав ---' 5_n • (Ю- 2.12)
Приведенные формулы подтверждают и делают более точными рассуждения, представленные в последней части § 1 этой главы, рассуждения, выведенные с помощью упрощающих предположений о связи плотности и давления.
Приведем полезное выражение для давления в центре политропной звезды,
Pc=A1GMV/3, (10.2.13)
где H1- функция индекса п, данная в таблице.
Параметры политропы (Чандрасекар, 1939)
п Si рс1Р H1
0 2,45 4,90 1,00 0,817
0,5 2,75 3,79 1,84 0,643
1,0 3,14 3,14 3,29 0,554
1,5 3,65 2,71 5,99 0,488
2,0 4,35 2,41 11,4 0,439
2,5 5,36 2,19 23,4 0,396
3 6,90 2,02 54,2 0,364
4 14,98 1,80 622 0,315
5 OO 1,73 OO 0,270
Упомянем три случая, когда уравнения Лейна — Эмдена интегрируется в элементарных функциях: § 2І
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛИ>ГРОПНЫХ ГА300ЫХ СІФЕР
283
1) п = 0, соответствующий несжимаемой жидкости
P = рс = const, P Ф const, л
e..(l-if); } ,10'2Л4)
2) п = 1, т. е P= Kp2 превращает уравнение Лейна — Эм-дена в линейное, решение которого
G1 = -^sin-Ir; S1 = я. (10.2.15)
В этом случае, как можно видеть из уравнения (10.2.11), радиус R не зависит от массы M.
3) п = 5, решением будет функция
е6 = (1+4-!2Г\ (10.2.16)
не обращающаяся в нуль ни при каком конечном Следовательно, для п= 5 радиус R бесконечен. На выделенность случая п= 5 указывает также знаменатель (5— п) в уравнении (10.2.12). Р/рс=Ф(т/М)
Случай и = 3 не имеет аналитического- решения в терминах известных функций, но он особенный для формул, дающих рс и R как функции массы М. В этом случае с данным К решение существует только для одного частного значения массыЖ" =Ms. Для этого M, рс и R принимают любые значения, связанные соотношением
Р-Т-"Да(-?Г). (Юг 2.17)
Функция г|:(т/М) (см. 10.2.2) для важных случаев у = 4/3 и у = 5/3 представлена на рис. 35.
б. Показатели адиабаты и политропы. В предыдущем параграфе мы предполагали, что уравнение состояния имеет вид P= К (s) P144^n, для которого энергия E = HK(S)P1In и энтропия на барион постоянна вдоль звезды. Вместо этого можно представить себе звезду с переменной энтропией, со степенным законом для адиабатического соотношения между давлением и плотностью, P= K{s)pY', и распределением s таким, что K(s) = K1 pY""r по всей звезде.
