Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
269
Мы видим, что ІН <С и tu Полученные оценки приводят
к выводу, что отыскание конфигураций (распределения плотности и- давления), удовлетворяющих уравнениям гидростатического равновесия, является первой задачей в теории звезд.
Эволюция, зависящая от тепловых и ядерных процессов, от потери и аккреции вещества, представляет собой последовательную смену равновесных конфигураций. Достижение предела существования таких конфигураций приводит к нарушению равновесия и катастрофическим явлениям.
Для анализа гидростатического равновесия мы воспользуемся энергетическим методом. Подробное обоснование метода и вычисления см. в приложении к этому параграфу. См. также книгу Уилера, Гаррисона, Вакано и Торна (1967) и работы Чандрасека-ра (1964а, Ь; 1965). В тексте мы сформулируем общие выводы.
Условие гидростатического равновесия совпадает с условием экстремума полной энергии звезды при заданном числе сохраняющихся элементарных частиц — барионов и заданной энтропии. Уравнение для градиента давления есть уравнение Эйлера вариационной задачи нахождения экстремума энергии, зависящей от распределения вещества. Это утверждение справедливо как в классической ньютоновской теории, так и в общей теории относительности. Поэтому естественно строить теорию равновесных конфигураций, рассматривая их энергию в зависимости от параметров. Минимум энергии соответствует устойчивому равновесию, а максимум энергии — неустойчивому; в энергетическом подходе выяснение устойчивости не требует дополнительных расчетов. Между тем непосредственное рассмотрение решения дифференциального уравнения равновесия не позволяет еще судить об устойчивости, поскольку необходимо дополнительно исследовать линеаризованное уравнение малых возмущений.
Следует особо подчеркнуть роль энтропии: ее роль обусловлена термодинамическим соотношением P = — (—^Л гДе E1 —
IdTjs'
удельная энергия, S — удельная энтропия (все величины на единицу массы покоя). Это соотношение позволяет установить связь между энергией звезды, в которую входит JSf1, и уравнением равновесия, в которое входит давление P. Поэтому в теорию входит Ev как функция именно р и S , а не р и температуры T.
Для иллюстрации общей ситуации будем сначала грубо характеризовать все вещество средней плотностью ри средней энергией на грамм вещества Ev Полная энергия звезды массы M записывается в виде
E =
^E1PdV -G I1Jr-dV.
(10.1.4)
V
V 270
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
Первое слагаемое — внутренняя энергия, второе — гравитационная энергия, ш — масса внутри сферы радиуса г.
Воспользовавшись средними величинами, перепишем (10.1.4):
E = E1M — oc1G ~, oc1 = const,
о --M или, выражая R через р, р = -т-t находим
R
T
ITjti*3
E = E1M — а2СМв/зр1/з> а2 = const. (10.1.5)
Уравнение состояния идеального газа можно записать в виде E1 = K(S)9^ +L(X)1
где K(S) — зависит от энтропии газа и его химического состава; L(X) — от химического состава, а у — показатель адиабаты:
^ = (llnp )s-const* ^ Давление- Напомним, что для идеального
одноатомного нерелятивистского газа т = 5/3. В теории звезд часто вместо у используют так называемый индекс политропы п:
T= 1 +T-
Окончательно (10.1.5) можно, записать в виде
E = C1Mpv"1 + C2M - C8MiV; (іо.і .6)
C1, C2 и C3 — постоянные при фиксированной энтропии. Аддитивная постоянная в энергии при решении вариационной задачи, очевидно, несущественна.
Если у > 4/3, то на кривой Е, как функции р, имеется минимум. Он отвечает положению устойчивого равновесия звезды.
Если у < 4/3, то кривая Е(р) не может иметь минимума и, соответственно, звезда не имеет устойчивого равновесного состояния. В этом случае на кривой есть максимум, отвечающий неустойчивому равновесию.
Наконец, в случае у=4/3 и C1=CsM2/з энергия звезды вовсе не зависит от средней плотности, т. е. имеет место безразличное равновесие звезды при любой плотности. Заметим, что безразличное равновесие имеет место только по отношению к сжатию и расширению звезды в целом, т. е. по отношению к подобному изменению всей звезды; можно показать, что звезда устойчива по отношению к деформации распределения плотности в ней.
Найдем зависимость плотности равновесной звезды от массы. Для этого приравниваем нулю производную от E по р:
" =о.
dp
m=COnst, s=Const § 13 ОБЩИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗД 271
Отсюда найдем:
(y—±Л JL
M = COiist р Y зі'2. (10.1.7)
Из полученной формулы видно, что знак -^r для равно-
°м s=COnst
весных конфигураций совпадает со знаком разности (у — 4/3). Сформулируем результат: когда звезда устойчива, то -щ- ]> О,
а когда неустойчива, то <[ 0. При вычислении подра-
зумевается сравнение двух моделей звезды из вещества с одним и тем же уравнением состояния и одинаковой энтропией, но с различными массами, отличающимися на 6М.
Этот критерий естествен: в устойчивом состоянии добавление массы вызывает сжатие и увеличение давления, компенсирующего возросшую силу тяготения. Заметим, что анализ точного, не усредненного уравнения равновесия приводит к критерию устойчивости ]>0, где рс — центральная плотность звезды [см.
