Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Энтропия в классической теории определяется дифференциально: dS = dQ/T с точностью до постоянной величины; она имеет размерность кал/г-градус. Квантовая теория определяет абсолютное значение энтропии. При этом S = klnW, где к — постоянная Больцмана, W — вероятность состояния. Пользование тепловыми единицами представляет удобную условность, в рациональной системе T измеряется в единицах энергии, к — 1. В этой системе найдем энтропию, приходящуюся на один нуклон S1 = In W1. Если система состоит только из нуклонов (полное число нуклонов 254 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ [ГЛ. 8
равно N1 их плотность тг), то W1 есть среднее число клеток фазового объема, приходящихся на нуклон, т. е. отношение числа квантовых уровней Г, на которых находятся нуклоны, к числу нуклонов. В нерелятивистском газе:
Г = "Йг > где р = (3Tm)S V - объем, W1 = ^r= 3 8^mvA-1ZT3 = 1,8-10 79A8V1.
Для ионизованного водорода с плотностью р = IO"29 г/см3 (п = 6-Ю"6 см~3) при T = IO6 0K с учетом вклада электронов (и с численными множителями опущенными выше) получим W1 = IO34, S1=InW= 78. В звезде:
р = 1 г-см-3 (п = 6-Ю23 см-3), T = IO8 °К, PF1 = IO8, S1 = 18,4.
Рассмотрим плазму, в которой преобладает излучение. Энергия в единице объема и соответствующая энтропия:
B = OF*, 5 = 4^3, 0=^ = 7,57.10-" Зарг м .
3 ' 15с8/г3 ' град1
Безразмерная энтропия на нуклон:
^ = Ir = 72'5? (г°к)-
Для сравнения приведем число квантов в единице объема
8 __ S М __ 8jt ^ p2dp
о
Щ "" fo ~ 2 JkT ' ^ ~~ (2jtA)3 .) _ !
(вторая формула для пу — точная), р — импульс кванта и число квантов на один нуклон
"г=?- = 20'4"? =W- (8-6-1)
Аналогичный расчет для равновесного спектра нейтрино и антинейтрино (с химическим потенциалом р, = 0 с учетом спираль-ности нейтрино) даст
8 = (7/8) ат\ S = (7/6)оТ\
безразмерная энтропия:
OO
J?_-64U п__8 • „_„. Р2*Р
— „ > у> — a оо urn > rK — rK —
кп п ' VfV 6,22 kT ' V v (2рсН)* J ecp?T _ ± »
о Безразмерная зйтїюпия
25$
число нейтрино на один нуклон:
_ "у+ "у 15,2 гз S2 п 9v
7V у - п = -S- = -AJ • (8-6'2)
Суммарная энтропия в безразмерных единицах дается формулой S~4(7Vy + 7Vv + 7V-v + ...). (8.6.3)
Эта формула выводится следующим образом *). Мы хотим вычислить энтропию N(N 1) неразличимых частиц с массой нуль, занимающих R состояний. Если бы частицы были различимы, число их расстановок было бы равно Rn, но поскольку это не так, то число различных расстановок частиц равно W = Rn/N\ Поэтому энтропия на нуклон (напомним, что имеется N частиц на нуклон)
Основной вклад вносят состояния, для которых число заполнения NjR мало (это уже молчаливо предполагалось при вычислении W); поэтому для [x = O имеем
= n = S1= (l + ^N.
В этом приближении (п 1) статистики Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака дают одинаковый результат. Теперь выражение 1 + EIfcT для энтропии релятивистских частиц (фотонов и нейтрино) на нуклон мы должны усредить по всему распределению.
^gv у Ey
Сделав это, мы получаем ,S1 = 1 +так как-^r-= 3 в данном приближении, т. е.
ЕЫЕ __3!о
с / E \ ~ 2\ ~ '
^exp (--^rj ЕЫЕ
при пренебрежении единицей в выражении (еЕ^кт dz I)"1. Складывая энтропии на один барион различных сортов релятивистских частиц, мы получаем формулу (8.6.3), приведенную выше.
*) В нашей книге «Релятивистская астрофизика» вывод формулы содержал ошибку на 30%, на которую указали К. Торн и В. Шварцман. 256
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
[ГЛ. 8
§ 7. Общие термодинамические соотношения для истинно нейтральной материи
Рассмотрим истинно нейтральное вещество, т. е. вещество с равными нулю барионным, лептонным и электрическим зарядами.
Основным состоянием такой материи, очевидно, будет вакуум без каких-либо частиц; это состояние достигается при нулевой температуре. При T =j= 0 первыми в равновесии будут представлены безмассовые частицы (фотоны, нейтрино и т. д.), с ростом температуры появляются частицы с тс2 — кТ. Очевидно, что в равновесном состоянии число частиц равно числу античастиц.
В этом разделе мы хотим указать общее соотношение, справедливое для такой материи, даже если рассматриваются взаимодействия всех частиц (и, конечно, античастиц).
В стандартной термодинамике состояние вещества определяется Z + 1 независимой переменной, где z — число представленных в нем независимых видов материи. При высоких темпера-турах Z равно числу сохраняющихся величин. Из-за дальнодей-ствующего характера электростатических взаимодействий мы исключаем из числа сохраняющихся величин электрический заряд *). Следовательно, мы имеем 2 = 3, соответствующее одному барионному и двум лептонным зарядам. Поэтому термодинамические свойства вещества при высоких температурах зависят от трех плотностей зарядов и одной тепловой величины, например, плотности энтропии или от температуры. Однако в истинно нейтральном веществе остается только одна независимая переменная, для конкретности в качестве этой величины мы возьмем плотность энтропии S.
В известном выражении
каждая величина отнесена к единице «материи», т. е. к единице барионного заряда. Каково следствие этого фундаментального уравнения для истинно нейтрального вещества? Мы улучим его, предполагая малой плотность барионного заряда (в пределе п 0), что не влияет на свойства вещества, а означает просто выбор системы отсчета, т. е. выделяет определенный объем V = 1 In.
