Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
газа тг_ — /г+ = ^1ZiUu где щ — концентрация ядер, Zi — их заряды, выраженные в единицах заряда электрона.
Энергия единицы объема определяется аналогичными интегралами:
E-
(2 я/г)3
Е^ЫрЧр
е(Ее-М*Т+і
Е+
(2я/г)3
E^fkTtpHp e{Ee+v)/kT i
. (8.3.3)
Здесь, однако, следует сделать оговорку: обычно за нуль энергии принимается энергия холодного вещества включающая в себя ПАРЫ И НЕЙТРИНО
245
энергию массы покоя тех электронов, которые имелись в холодном веществе. Число их равно ^jZiTii = — Поэтому полная энергия единицы объема в этой системе
Е = Е- + Е+ — тес2 (п. — тг+). (8.3.4)
(Здесь E — превышение энергии горячей плазмы над энергией холодной плазмы, вызванное парами; энергия фотонов исключена.) Наконец, выражение энтропии частиц, находящихся в единице объема, будет таково:
+ ,8.3.5,
и аналогично (с изменением знака |х) для
Эти общие выражения резко упрощаются в предельных случаях, к рассмотрению которых мы и переходим.
Первый предельный случай — невырожденный нерелятивистский газ электронов и позитронов. Для этого нужно, чтобы (X < тес2, что достигается при
TTIqC2 < kT < TTleC2. (8.3.6)
Возникают два упрощения: в знаменателе уравнений (8.3.1) и (8.3.2) пренебрегаем единицей по сравнению с энергию
записываем в нерелятивистском виде:
Ее = тес2+-^. (8.3.7)
Введем еще обозначение р/ = р, — тпес2, [х'<^0. Получим тогда
^L2(2itmekTf*
— е
(2 Tthf
п+ = е
mjcTfh
(2 Tthf
(8.3.8)
и условие равновесия в виде закона действующих масс:
^ W-' (8-3-9)
Вместе с условием, дающим п_ — тг+, имеем два уравнения для двух величин п_ и п+. В том же приближении, оставляя первые неисчезающие члены в разложении по (кТітп^с2), имеем добавки, 247
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
[ГЛ. 8
связанные с рождением пар:
AjE = 2п+тес2, A S =
Второй предельный случай соответствует зарядовой симметрии, что выражается условием jx ^ 0, п+ ^ п_. Этот случай при. малой плотности плазмы реализуется при низкой температуре, так что есть область перекрытия двух предельных случаев. Чем больше плотность плазмы, тем выше должна быть температура для того, чтобы реализовать второй предельный случай. При [X = 0 все величины, отнесенные к единице объема, зависят от одного параметра х = кТ/т^с2, например,
Аналогичные выражения получаются и для других величин. Удобные асимптотические формулы имеют место для больших и для малых X:
где о — константа, относящаяся к квантам (см. предыдущий параграф *)).
Рассмотрим теперь газ, состоящий из плазмы и излучения, к которому при высокой температуре добавляются пары. Так же, как это было сделано в предыдущем параграфе, пренебрежем энергией и давлением плазмы, но все величины будем относить к единице массы плазмы. Плотностью электронов плазмы также пренебрегаем, при этом реализуется зарядово-симметричный случай.
В двух предельных случаях получим простые ситуации: при X 1 только излучение:
(8.3.10)
я>1, (8.3.12)
*<1, (8.3.11)
(8.3.13)
*) Здесь 2?+, Р+ — величины, относящиеся к парам, т. е. включающие вклад как позитронов, так и электронов. ПАРЫ И НЕЙТРИНО
247
при кроме излучения, равновесный релятивистский по-
зитронно-электронный газ:
E = Р = S = ^-. (8.3.14)
Из этих формул легко найти выражения Р(р, S) для обоих случаев. Кривая P (р, S = const) в логарифмических координатах имеет вид, показанный на рис. 32, а (не в масштабе).
Наклон левой и правой асимптот (показаны пунктиром) одинаков; он соответствует у = 4/3.
а) б)
Рис. 32. а) Схематическое изображение зависимости давления P от плотности р, когда можно пренебречь давлением плазмы, в области температур, при которых^ равновесии появляются пары е+, е~.
б) Зависимость v = d ^ р от т Для тех же условий, что и рис. 32, а.
Однако легко убедиться, что правая асимптота лежит ниже левой на величину г/з In (И/4). Значит, в промежутке в среднем у должно быть меньше 4/3 и можно показать, что интеграл
—с»
Пинаева (1964) подробно рассмотрела задачу о показателе адиабаты в зависимости от температуры. Заимствуем из ее работы табл.
VII значений T = ^in^ )s и график рис. 32, б.
Показатель адиабаты у много меньше 4/3 в области, где с увеличением T происходит переход от чистого излучения к излучению с парами е+, е". При T ^ 300 кэв у становится больше 4/3. Это происходит потому, что число пар е+, е" при изэнтропическом сжатии растет уже медленно, а ферми-газ пар е+? е" имеет всегда У > 4/3. 248 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ [ГЛ. 8
Таб лица VII
Зависимость у от температуры
Г, кэв 50 70 100 125 150 200 300 500 700 oo
T 1,320 1,267 1,221 1,234 1,259 1,301 1,336 1,345 1,342 4 3
Значение рассматриваемого вопроса связано с тем, что уменьшение у ниже критической величины у = 4/3 связано с потерей устойчивости звезды (см. § 1 гл. 10). Кроме того, в космологии горячей модели Вселенной возникает задача об адиабатическом расширении газа, первоначально состоящего из пар и излучения, до низкой температуры, при которой пар уже нет.
