Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Величины giK называются компонентами метрического тензора: они определяют метрические свойства или, как говорят, метрику пространства — времени. Конкретный вид gik как функций координат и времени определяется не только свойствами пространства — времени, но и выбором системы отсчета, выбором 22
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
пространственных координат в ней и выбором способа отсчета времени (временной координаты).
В выражении (1.4.7) содержатся все сведения о геометрических свойствах системы отсчета и свойствах времени. Как пользоваться этим выражением? Во-первых, для определения течения времени в некоторой фиксированной точке данной системы отсчета, очевидно, надо считать х1, х2 и х3 постоянными: dx1 = dx2 = = dx3 = 0. Тогда ds будет выраженным в единицах длины промежутком времени между двумя близкими событиями, т. е. умноженный на скорость света интервал времени ds = cdx. Следовательно,
dx = J^Ldx0. (1.4.8)
В любой системе отсчета, образованной реальными телами, всегда goo > 0.
Определим теперь пространственное расстояние dl. Это нельзя сделать, положив в (1.4.7) dx° = 0, xQ = const. Дело в том, что одинаковым показаниям часов в разных точках пространства вовсе не обязательно соответствует один и тот же момент реального времени. Поэтому, прежде чем проводить вычисление, надо определить, какому значению х° в соседней точке соответствует «одновременное» с данным значение X0 в исходной точке. Такая синхронизация часов осуществляется с помощью световых сигналов. Мы не будем здесь останавливаться на вычислениях, отсылая интересующихся к учебнику Ландау и Лифшица (1967), и приведем сразу окончательную формулу для квадрата пространственного расстояния dl2:
dl2 = (- Sa? + -?^-) dx«dx\ a, ? = 1, 2, 3. (1.4.9)
*
Величины, стоящие в скобке, обозначают через Они определяют метрику трехмерного пространства системы отсчета *).
*) Это трехмерное пространство определено только локально, в следующем смысле: в каждой точке пространства — времени это бесконечно малая трехмерная поверхность, ортогональная к мировой линии (ж1, ж2, ж3) = const. Но эту трехмерную поверхность в общем случае нельзя непрерывно продолжить к соседним точкам так, чтобы она была ортогональна к проходятдим через них мировым линиям (я;1, Ж2, Ж3) == const. Это легко понять на следующем простом примере для линий в привычном для нас трехмерном пространстве. Пусть в трехмерном пространстве имеется семейство линий, закрученных винтом. При попытке провести поверхность, ортогональную к ним, наподобие винтовой лестницы, мы получали бы разрывы, как у оси винтовой лестницы. Возвращаясь к четырехмерному пространству, заметим, что в соответствии с теоремой дифференциальной геометрии, бесконечно малые трехмерные поверхности можно соединить в конечную трехмерную поверхность тогда и только тогда, когда мировые линии (ж1, ж2, ж3) = const имеют нулевое кружение, или, что тоже самое, когда система отсчета не вращается, что обычно § 4] ИЗМЕНЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАССТОЯНИЙ 23
Элемент объема трехмерного пространства определяется выражением dV = Yhm dx1 dx2 dx3; h* - | hl? | — определитель матрицы, составленной из элементов ha?.
Рассмотрим для примера тот же вращающийся диск. По формуле (1.4.8) находим из (1.4.6) для интеграла времени (тильду над координатами в дальнейшем не пишем)
dx= ]/l
На оси вращения г = 0 и dx = dt. Предыдущая формула теперь перепишется в виде
dx = ]/:
Q2r2 ^ ~2 ОСИ •
Время течет тем медленнее, чем дальше точка от оси вращения.
Для элемента пространственного расстояния из (1.4.6) и (1.4.9) находим
dl = y^dr* + + (1.4.10)
Q2r2
С помощью (1.4.10) получаем, что при z = const, г — const,
77 Г dtp
dl = — - и отношение длины окружности к диаметру равно
Q2r2
v<
*окр
Q2r2
т. е. больше я, в соответствии со сказанным в предыдущем параграфе.
Приведем еще пример нестатической, т. е деформирующейся с течением времени системы отсчета.
Рассмотрим в пространстве — времени Минковского совокупность частиц, вылетающих в некоторый момент из одной точки со всевозможными скоростями по всем направлениям. Мировые линии таких частиц заполняют внутреннюю часть светового конуса. Систему отсчета, связанную с частицами, назовем системой Милна (рассматривавшего такую модель).
не выполнено. Следовательно, хотя пространственная метрика h*a? определена в каждой точке пространства—времени, она обычно не является метрикой крупномасштабной трехмерной поверхности, вписанной в пространство — время. Это метрика трехмерной поверхности, геометрические свойства которой (риманова и гауссова кривизны; см. конец этого параграфа и конец § 8), а также деформации ее со временем и т. д. описывают геометрические и кинематические свойства системы отсчета в малой окрестности данной точки. 24 УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА [ГЛ. і
Переход от сферических координат г, 0, ф недеформиругощей-ся системы отсчета и лабораторного времени t к координатам Милна 0, ф и собственному времени частиц t дается формулами
