Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Характер зависимости от атомной массы и от температуры Дебая 0 (которая
пропорциональна скорости звука s, согласно § 4 гл. 2) в общем согласуется
с опытом.
Чтобы продвинуться дальше, можно использовать выражение (6.87) для
эффективного сечения рассеяния произвольным ионом решетки. По формуле
(7.47) найдем (обратную) длину свободного пробега
я
-^- = iV2n j ва (Q)N | K.Uq р (1 - cos 0) sin0d0, (7.57)
1 о
где oa (0) - дифференциальное сечение рассеяния "свободным атомом".
Пусть рассматриваются только нормальные процессы, .когда вектор рассеяния
К равен волновому вектору фонона q. Структурный фактор | K-Uq [2 дается
формулами (2.109) и (2.110). При высоких температурах мы имеем
кТКa kT %Ч\>кТ
(7.58)
(здесь вновь введена температура Дебая). Практически это то же самое, что
и А2 в формулах (7.54) и (7.55).
§ 5. Решеточное сопротивление
255
Так как величина (7.58) не зависит от К, т. е. не зависит от угла
рассеяния 0, мы можем отдельно проинтегрировать по 0. Получим
а _ h2qf,kT
= <7-59>
где
я
оа = 2п j ста (0) (1 - cos 0) sin 0 dQ (7.60)
о
есть полное сечение рассеяния изолированным атомом, вычисленное с
весовым множителем (1 - cos 0), учитывающим изменение
импульса в направлении поля.
С помощью формулы Линдемана для температуры плавления (2.117) это
выражение можно еще более упростить:
(7.61)
где хт есть константа, фигурирующая в формуле (2.117) и приблизительно
равная 0,2; Тт -температура плавления. Можно пойти еще дальше,
предположив, что сечения рассеяния ионом и заряженной примесью в основном
одинаковы. Несколько преобразуя формулу (7.49), получаем нечто вроде
Л, -50a If-, (7.62)
где длина а определена так, что а3 есть объем элементарной ячейки. Это
означает, что длина свободного пробега электрона в металле при
температуре плавления составляет примерно 50 постоянных решетки. Это не
вполне точно, но порядок величины все же получается правильный.
Чтобы найти само сопротивление, надо скомбинировать формулы (7.59) или
(7.62) и (7.33). Получим
rnvjp
пе^Л;
(7.63)
Этот результат приближенно справедлив для свободного электронного газа.
Формула (7.63) уточняет грубое функциональное соотношение (7.56).
При низких температурах положение сложнее. Структурный фактор (7.58) был
вычислен в рамках классической статистики. При переходе к низким
температурам надо заменить, скажем, величину (kT/hvq) на среднее число
заполнения nq, определенное
256
Гл. 7. Кинетические свойства
по формуле (2.46) *). Получим
ftVq №
т}
(7.64)
Этот сомножитель в интеграле (7.57) эффективно приводит к обре занию
интегрирования по угловой переменной. Вероятность рас-
Фиг. 123. Электрон-фононные нормальные процессы. а - при высоких
температурах; б - при низких температурах.
сеяния быстро падает, если поглощаться или испускаться должны фононы,
частота которых слишком велика, чтобы они могли возбуждаться термически.
Иначе говоря, практически исключаются процессы рассеяния, для которых
hVq > kT. (7.65)
В модели Дебая для нормальных процессов (фиг. 123) в случае сферической
поверхности Ферми это условие равносильно следующей связи между величиной
q и углом рассеяния 0:
я
2кр
• 6 ^ = sm - >•
Qd Т
<7'66)
Можно более или. менее точно вычислить длину свободного пробега в
предположении, что сечение ста (0) слабо зависит от угла 0 и его можно
вынести за знак интеграла как константу. Тогда на основании (7.57)
получим
1 "- ь2яЬкГ
Ai ~ °а МкЩ2
в/т 4 I* 4z4 dz
где переменная интегрирования
z --
fcVq
кТ
Ш(т)
(7.67)
(7.68)
х) Энергия нулевых колебаний не входит в формулу (7.64). Для
доказательства этого требуется подробный анализ процесса рассеяния с
учетом различия между испусканием и поглощением фонона.
§ 5. Решеточное сопротивление
257
При высоких температурах, когда отношение (r)/Т мало, интеграл стремится к
(0/Г)4, и мы снова приходим к результату (7.59). При низких температурах
интеграл стремится к постоянному значению 124,4 и сопротивление
оказывается пропорциональным Тъ. Эта сильная температурная зависимость
решеточного сопротивления представляет собой характерный квантовый
эффект, подобно дебаевскому закону Т3 для теплоемкости.
Происхождение этой зависимости можно понять следующим образом.
Эффективное сечение рассеяния, будучи интегралом по углам, включающим
множитель
(1 -cos 0) sin 0d0 = 8 sin3 ^ j d ^sin j , (7.69)
очень чувствительно к величине угла обрезания, навязываемого множителем
(7.64). Определив величину угла обрезания из неравенства (7.66), получим,
что интеграл должен вести себя как
<,gD/2kFHT/e)
j Ssins (-|)d(Sm-|) ~ (-1-)* (7.70)
О
в полном соответствии с формулой (7.67). Длинноволновые фононы весьма
малоэффективны в качестве источника сопротивления, ибо в результате
рассеяния на них направление движений электрона может измениться лишь на
малый угол, линейно уменьшающийся с температурой.
Подставив выражение (7.67) в (7.63), получим формулу, известную как закон
Блоха - Грюнайзена. Сопротивление многих металлов при низких температурах
