Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вероятность рассеяния зависит только от угла между двумя волновыми
векторами. Доказательство этого утверждения сводится к упражнению по
сферической тригонометрии, которое мы оставляем читателю.
Коль скоро названные условия выполнены, мы сразу получаем
1= j (1 -cos0)?(0)dQ\ (7.46)
Как видно, время релаксации обратно пропорционально интегралу по всем
направлениям от вероятности рассеяния, но взятой с весовым множителем (1
- cos 0). Последний увеличивает относительный вклад процессов рассеяния
на большие углы. Как видно из уравнения (7.44), этот множитель происходит
от
252
Гл. 7. Кинетические свойства
члена (vk -Vk')'E: существен не самый факт рассеяния электрона, а то,
насколько изменяется при этом компонента его скорости вдоль
электрического поля.
Вероятность рассеяния можно выразить через дифференциальное эффективное
сечение а (0) для рассеяния на примеси и через концентрацию последней Nt.
Для длины свободного пробега Л получим
IX
= Nt2zi j (1 - cos 0) or (0) sin 0 dQ. (7.47)
и
§ 4. Примесное рассеяние
Теперь у пас заготовлены все необходимые формулы - (6.70),
(7.25) и (7.47), позволяющие "из первых принципов" вычислить
электропроводность системы свободных электронов металла, содержащего
заряженные примеси. Как правило, нас будет интересовать удельное
сопротивление х) р:
Л
mvF mvF AJ " [* ,. / 2mZe2 \2 sin 0 d6
-Nt2n j (1 - cos0) (~~p~)2
ne*A ne* 1 J v } \ № /
0
-^¦*(тиЕ-П <.+<??¦=""• <7'48>
0
Здесь использовано равенство К - 2kF sin (0/2), вытекающее из
геометрических соображений, и введена переменная интегрирования z = sin
(0/2).
Интеграл в (7.48) легко вычислить как функцию параметра (2 к p/к)-, мы не
станем выписывать точной формулы. Важно лишь отметить, что заряженная
примесь ведет себя как геометрическое препятствие с радиусом
*~w-, (7-49)
который, согласно формулам (5.22) и (3.6), по порядку величины сравним с
радиусом атомной сферы. Отметим также, что сопротивление не зависит от
температуры и должно быть пропорционально квадрату разности валентностей
Z - правило Линде.
В действительности формула (7.48) дает завышенное значение сопротивления.
Лучше воспользоваться выражением (5.40) для
*) Для краткости будем пазывать его просто сопротивлением.- Прим. перее.
§ 5. Решеточное сопротивление
253
поперечного сечения рассеяния, полученным по методу парциальных волн.
Интегрируя по углу 0, находим
ОО
x=iV'-$-SZsin2(Ti^~^)- (7-5°)
F 1=1
Затем можно определить сдвиги фаз, потребовав, чтобы они удовлетворяли
правилу сумм Фриделя (5.43). Значительное остаточное сопротивление,
очевидно, должна давать примесь переходного металла с d-резонансом вблизи
уровня Ферми (см. § 5 гл. 5 и и § 10 гл. 6). Действительно, при этом т]2
~я/2. В случае магнитных примесей s - d-взаимодействие, зависящее от
спина, также приводит к появлению минимума сопротивления', этот эффект
Кондо будет рассмотрен в § 6 гл. 10.
Для вычисления подвижности, связанной с рассеянием на заряженной примеси
в полупроводнике, можно поступить в сущности так же, как и при выводе
формулы (7.48). Фактически время релаксации зависит от энергии:
<7-М>
о
где параметр X определяется теперь формулой (5.26); предполагается, что
он несколько меньше "тепловых" значений к.
Прямым расчетом можно установить, что интеграл в формуле (7.51) довольно
слабо зависит от энергии %, поэтому т зависит от энергии носителей в
основном как <$2!v ~ Щ^^т*1/2. Подставляя этот результат в формулу
(7.38), видим, что это практически сводится к замене энергии % на ее
среднее значение кТ. Следовательно, в случае примесного рассеяния
II ~ T3,2m'Va. (7,52)
Формула такого типа фактически дает лишь очень грубое приближение, но
общий качественный вывод о том, что подвижность должна увеличиваться с
ростом температуры, является вполне надежным. Это означает просто, что
при нагревании газа носителей заряда они движутся в среднем быстрее и
потому слабее рассеиваются заряженной примесью.
§ 5. Решеточное сопротивление
Расчет так называемого решеточного сопротивления металлов -
сопротивления, обусловленного рассеянием на тепловых колебаниях решетки,
- представляет более сложную задачу. Мы можем только наметить его
основную схему.
254
Гл. 7. Кинетические свойства
В качестве первой аппроксимации используем представление о потенциале
деформации, введенное в § 14 гл. 6. Электрон "чувствует" флуктуирующий
потенциал, равный по величине
6g = |gFA, (7.53)
где А есть локальное, термически флуктуирующее относительное изменение
объема. Следовательно, сопротивление должно быть пропорционально среднему
квадрату флуктуации плотности, который по известному принципу
классической статистической механики определяется формулой
A 2 = NkT$, (7.54)
где р - сжимаемость кристалла.
Выразив эту величину через скорость звука s и плотность D, получим
-го NkT kT
А=-7*г = 17?Г' <7'55)
где М - масса иона. Этот результат более известен в общем виде
Щ' (7'56)
показывающем, что сопротивление пропорционально абсолютной температуре.
