Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
exv-E
а
, ,0 ^ (k) "Т
Jk -Jk д% (к) <Эк ' п
.^Е = /°(к-^-Е). (7.27)
/k = /°(gk - exvfE),
(7.28)
§ 2. Электропроводность
249
как будто к энергии электрона в состоянии к добавилась величина
= etVk-E. (7.29)
Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы
место, если бы электрон со скоростью Vk двигался в поле Е в
течение интервала времени т. Это замечание лежит
в основе кинетического метода решения подобных задач. Доба-
вочная энергия, приобретаемая в промежутках между столкновениями с
примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости 6v в направлении
поля; именно
6v~ = ev-ET, (7.30)
или для классической частицы массы т
6v = -^E. (7.31)
mv ' '
Пусть концентрация частиц есть п, тогда полная плотность тока равна
J = пе 6v, v^.32)
и, сравнивая формулы (7.31), (7.32) и (7.22), находим
a = (7.33)
Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (7.25)
и (7.33) эквивалентны. Однако для металла первая из них принципиально
значительно лучше. С точки зрения теории линейного отклика еще лучше было
бы написать
а = (Шг). (7.34)
Это выражение показывает, что электропроводность определяется только
свойствами электронов на уровне Ферми, а не их полной концентрацией.
Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее большой
величиной тока jF = evF, переносимого небольшой группой электронов на
вершине распределения Ферми, а не высоким значением полной концентрации
свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость
х).
Основная формула (7.25) показывает также, что происходит, когда площадь
свободной поверхности Ферми уменьшается в результате взаимодействия с
границами зоны, и учитывает влияние решетки, ограничивающее эффективную
скорость электронов
х) Большая скорость на поверхности Ферми обусловлена именно высокой
полной концентрацией электронов.- Прим. ред.
250
Гл. 7. Кинетические свойства
на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно наблюдать в
металлах типа Bi.
С другой стороны, формула кинетической теории (7.33) удобна для
полупроводников. При этом под п следует понимать концентрацию свободных
носителей заряда. Обычно пишут
а = п | е | (х, (7.35)
где
И = 141 (7-36)
есть подвижность носителей. В более общем случае считают, что электроны и
дырки вносят независимые вклады в полный ток, и определяют их подвижности
равенством
О = Пе \ е I це + nh ! е \ (7.37)
Нетрудно вывести формулу (7.35), скажем, из (7.20), принимая в качестве
/° классическую функцию распределения [типа (4.32)] и вычисляя интегралы
вида (4.36). При этом мы допускаем, что время релаксации т может зависеть
от энергии; в формулу (7.36) надо подставить его среднее значение
- 2 \%х(%)е-%'кТЖ(Щй%
^ ЧА-У г- ' (1.00)
Ml \ e~^lhTJT (%) d%
где j!T{%) есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким
образом,
= (7.39)
где те - эффективная масса электронов. Аналогичная формула справедлива и
для дырок. Из этих формул видно, что подвижность может зависеть от
температуры. С ростом Т распределение размазывается и среднее время
релаксации изменяется. В случае металла то обстоятельство, что т зависит
от энергии, не играет большой роли, ибо существенно только значение т
(gF).
§ 3. Вычисление времени релаксации
Мы пока еще не решили интегральное уравнение (7.16). Наиболее общее
решение имеет вид
^=(-ж)еЕ-А (к), (7.40)
где А (к) - вектор, зависящий от положения точки к на поверхности Ферми.
Элементарное решение (7.19) получается, если взять
А (к) = тук, (7.41)
§ 3. Вычисление времени релаксации
251
откуда ясно, что Л представляет собой векторную длину свободного пробега
электронов. В общем случае длина вектора Л (к) может быть переменной, и
направление его может не совпадать с направлением скорости vk на
поверхности Ферми.
Иногда предполагают, что
Л (к) = т (к) ук, (7.42)
где т (к) есть, по определению, анизотропное время релаксации, зависящее
от положения на поверхности Ферми. Нетрудно установить, однако, что эта
аппроксимация не всегда дает полное решение интегрального уравнения; к
тому же не существует прямого метода вычисления функции т (к).
Элементарная формула (7.19) дает, собственно, единственное простое
решение кинетического уравнения. Подставим его в уравнение (7.16) и
допустим еще, что рассеяние упругое, т. е.
Q (к, к') dk' = 6 (g - g')№ к') dQ' dg\ (7.43)
Здесь dQ' есть элемент телесного угла в направлении вектора к' -
волнового вектора электрона после столкновения (величина вектора к'
фиксирована теперь условием неизменности энергии при рассеянии).
Опуская с обеих сторон 8-функции от энергии Ферми, находим для точек на
поверхности Ферми
vk'E = т j (vk-vk.)-Ej5(k,k')dQ'. (7.44)
Это есть функциональное соотношение, которое накладывает некоторые
условия на вид функции X (к, к'). Легко показать, что оно выполняется,
когда поверхность Ферми есть сфера, и величина | vk | постоянна, и, кроме
того, когда
%(k, k') = X (0). (7.45)
Последнее означает, что уравнению (7.44) можно удовлетворить, если
