Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Величину к можно рассматривать как "скорость" носителя заряда в k-
пространстве, так что по аналогии с равенством (7.1) имеем
/к (г, о=/к_?< (г> о); (7-4)
следовательно, под действием полей функция распределения меняется со
скоростью
т]"=-i ¦-яг= - т (Е+ т ^ х н>) • ¦ж <7-5>
(мы использовали здесь обозначение д/дк для градиента в к-про-странстве -
оператора Vk).
3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы
ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция /к
меняется со скоростью
-irLatt = j </k' (4 " /к) - /к (1 - /к')} <? (к, к') *'• (7.6)
Процесс рассеяния из состояния к в состояние к' приводит к уменьшению /к.
Вероятность этого процесса зависит от величины /к - числа носителей в
состоянии к, и от разности (1 - /к>) - числа свободных мест в конечном
состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из к' в к, который
ведет к увеличению функции /к; он пропорционален величине /к- (1 -/к).
Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям к'. Для каждой
пары значений кик' существует, однако, "собственная" вероятность перехода
Q (к, к'), равная скорости перехода в случае, когда состояние к полностью
заполнено, а состояние к' вакантно. Согласно принципу микроскопической
обратимости, та же функция дает и скорость перехода из к' в к, поэтому
под интегралом появляется общий множитель.
Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки г и для любого
значения к полная скорость изменения функции /к (г) равна нулю, т. е.
а/к 1 =о П 7)
dt Jscatt dt _|field dt Jdiff
Отметим, что здесь рассматривается стационарное, по не обязательно
равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается
через /к, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов
температуры. Если внешнее поле само
244
Гл. 7. Кинетические свойства
изменяется во времени, то три слагаемых в левой части (7.7) в сумме
должны давать скорость изменения функции /к под действием внешней силы
(см. § 6 гл. 8).
Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не
слишком сильно отличается от равновесного. Положим
gk = fk - /к" (7.8)
где, как в § 5 гл. 4,
ехр{(*к-Е)/ИГ} + 1 (7'9)
Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить
функцию /& в случае, когда температура зависит от координат? Будем
считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную
температуру Т (г), и положим
gk(r) = fk(r)-fk{T(T)}. (7.10)
Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно
потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо
дополнительному условию, например
j gk (г) dk = 0. (7.11)
•Подставляя выражение (7.8) в кинетическое уравнение (7.7) и используя
равенства (7.2) и (7.5), получаем
(E + T^ х "О 'T'-tL, ¦ <7'12>
ИЛИ
+ + (7.13)
С помощью формулы (7.9) и определения (6.2) это уравнение можно
переписать в виде
(-SS-M-^vr + ^E-ivt)}-
=----iKLatt + Vk'^+^[VkXH]'^r- (7Л4)
Это - линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E-dgk/dk)
порядка Е2, соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также
член vk-[vk X Н], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения
магнитное поле явно не входит.
§ 1. Кинетическое уравнение
245
Подставляя выражение (7.6) в уравнение (7.14), можно убедиться, что мы
получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно
"добавки" gk(r) к функции распределения. Функция gk(r) определяется
интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры,
входящими в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем
отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в
порядке увеличения сложности.
Критически настроенный читатель мог бы восстать здесь против столь
простодушного использования квазиклассических представлений для описания
поведения квантовомеханической системы. В самом деле, можно ли так
бесцеремонно пренебрегать интерференцией между электронными волновыми
пакетами?
Для ответа на подобные вопросы нужна более усовершенствованная методика,
в которой используются матрицы плотности и(или) функции Грина. Как и в §
1 гл. 5, внешнее поле рассматривается как слабое возмущение равновесного
состояния системы многих частиц. Оно вызывает линейный отклик, величина
которого дает соответствующие кинетические коэффициенты. Тензор
электропроводности, например, можно выразить в общем виде с помощью
формулы Кубо х):
ОО
"V = ^ О'ц (О U (0)) dt. (7.15)
о
Иначе говоря, проводимость определяется функцией временной корреляции
(ср. § 8 гл. 2) между составляющей y'v (0) оператора плотности тока в
начальный момент времени и составляющей (t)
в некоторый последующий момент t. Эту функцию надо проинтегрировать по
всем значениям (>0и усреднить результат по равновесному ансамблю.
Разумеется, соответствующее среднее значение самого вектора j (t) равно
нулю. Однако как затухание флуктуаций тока, так и отклик системы на
внешнее поле определяются в точности одними и теми же эффектами -
