Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
будут соответствовать одинаковые коэффициенты. Можно считать, что вместо
8 имеется только 5 различных коэффициентов. Соответственно детерминант
будет более низкого порядка и решать секулярпое уравнение будет легче.
То же самое справедливо и для точки 2, лежащей на диагонали. В точках X и
М будут дальнейшие упрощения, так как они лежат на серединах векторов
обратной решетки, что приводит к появлению новых соотношений между
коэффициентами. Чем выше симметрия точки в зоне Бриллюэна, тем ниже
порядок секулярного уравнения, которое надо решать. При заданном объеме
вычислений для точек с высокой симметрией можно получить более точные
значения функции % (к), чем для произвольной точки зоны.
Теория групп дает, пожалуй, даже больше. Она позволяет установить вид
функций, которые входят в разложение с одинаковыми коэффициентами (в
более сложных случаях с коэффициентами, различающимися множителями типа
1/]^3). Она указывает также, в каких точках зоны Бриллюэна можно ожидать
вырождения уровней. Например, в точке М имеется, скажем, 4 вырожденные по
энергии ортогонализованные плоские волны или 4 присоединенные плоские
волны, соответствующие векторам к, (к - g5), (к - gx) и (к - g 2) на фиг.
65. Отвечающие им уровни будут расщепляться под действием возмущения,
связанного с потенциалом решетки. Можно доказать, однако, что двукратное
вырожденце всегда остается. При построении изоэнергетических поверхностей
такая информация оказывается весьма полезной.
Есть один случай, когда теория групп очень важна. Именно известно, что в
тяжелых атомах имеет место сильное спин-орбитальное взаимодействие. Оно
описывается оператором вида ^L-S, где S - оператор спина электронов, a L
- оператор орбитального момента количества движения. В случае свободного
атома этот оператор приводит к снятию вырождения некоторых состояний с
одинаковыми пространственными волновыми функциями, но с противоположно
направленными спинами. Например, атомный Р-уровень расщепляется па два:
Р3/2 и Рц2. Они отвечают полному моменту количества движения / = 3/2 и /
= V2 соответственно.
При построении энергетических зон мы предполагали до сих пор, что спин не
играет роли; мы просто пользовались пространственными волновыми
функциями, считая, что два электрона с противоположными спинами всегда
можно поместить в два состояния с одной и той же пространственной
волновой функцией Спин-
§ 11. Симметрия кристаллов и спин-орбиталъное взаимодействие 139
орбитальное взаимодействие может снять вырождение этих состояний.
Заметим, однако, что фундаментальный квантовомеханический принцип
симметрии относительно обращения времени всегда сохраняет крамерсовское
вырождение между произвольной блоховской функцией ^ (г) и ее комплексно
сопряженной функцией ijjt (г). Последняя функция описывает состояния,
отличающиеся от ijjt (г) изменением знака одновременно волнового вектора
и спина электрона. Для "бесспиновых" частиц независимо от точечной группы
симметрии решетки этот принцип приводит к равенству % (-к) = Ш (к).
В произвольной точке зоны Бриллюэна, в которой сами функции i|)k не
вырождены, спин-орбитальное взаимодействие не разделяет состояний с
противоположными спинами, если потенциал решетки обладает центром
инверсии. Действительно, изменение ориентации спина в состоянии с
волновой функцией (г) эквивалентно переходу к функции (-г) -последняя
принадлежит
той же энергии.
В зоне Бриллюэна есть особые точки, в которых влияние спин-орбитального
взаимодействия может оказаться весьма важным. Наиболее интересен центр
зоны Бриллюэна - точка кубической симметрии. В модели сильно связанных
электронов мы могли построить "p-зону" из атомных p-функций. В атоме есть
три такие функции, и они вырождены. Соответственно получаются три p-зоны,
отвечающие, скажем, атомным функциям типа рх, ру и р2. Эти три зоны
вырождены в точке к = 0, они переходят друг в друга при преобразованиях
кубической симметрии в этой точке. Каждое состояние в зоне дважды
вырождено по спину, так что всего имеется шестикратноег вырождение.
При наложении спин-орбитального взаимодействия происходит расщепление на
четырехкратно и двукратно вырожденные уровни. Действительно, теперь при
построении зон следует исходить из атомных функций типа р3/2,
четырехкратно вырожденных, и типа рц2, вырожденных двукратно. Интересно
посмотреть, что случится, если отойти от точки к = 0 в некотором
произвольном направлении. Если решетка имеет центр инверсии, то каждый
уровень будет еще оставаться двукратно вырожденным, что показано на фиг.
66, б. Можно сказать, что зона с j = 3/2 вновь расщепляется на зону с mj
= ±3/2 (проекция берется, например, на направление вектора к) и на зону с
mj = ±V2. В отсутствие центра инверсии эти зоны дополнительно расщепились
бы так, как показано на фиг. 66, в. В результате спин-орбитального
взаимодействия спин электрона становится чувствительным к тому, сколь
"закручен" потенциал кристалла вокруг направления вектора к.
