Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Однако надлежащая количественная трактовка должна учитывать и такой факт,
подчеркнутый в § 4 настоящей главы (см. фиг. 54): при образовании
кристалла сами атомные функции исчезают из-за перекрытия атомных
потенциалов. Такое исчезновение атомных функций, однако, не всегда бывает
полным - вблизи
§ 10. Резонансные зоны
135
исходных d-уровней могут сохраниться виртуальные связанные состояния. В
динамической теории колебаний решетки (§ 12 гл.2) мы называли резонансным
такое возбуждение, которое, будучи сильно сконцентрировано вблизи атома
примеси, имело все же конечную амплитуду и в остальной части кристалла.
Подобным же образом волновая функция электрона с резонансной энергией
может характеризоваться большой амплитудой внутри потенциальной ямы, не
будучи в то же время строго там локализованной. Рассмотрение радиального
уравнения Шредингера (3.60)
0 л Граница
зоны U Бриллюэна
Фиг. 63. а - d-зоны, пересекающие s-зону; б - s - р-гибридизация.
показывает, что это легко может случиться при I ^ 0 из-за действия
"центробежного потенциала" I (I + 1)/г2. Последний создает барьер, сквозь
который электрон может туннелировать со своего виртуального уровня (фиг.
64).
Существование таких резонансов (и не только для d-состояний, но даже в
некоторых случаях и для p-состояний свободных атомов) представляет одно
из неясных мест аналитической теории псевдопотенциала, изложенной в § 6
настоящей главы. Не ясно, например, нужно ли при ортогонализации относить
такие состояния к атомному остову. Чтобы уяснить себе ситуацию,
необходимо еще раз вернуться к общей теории рассеяния, в которой
резонансы давно и хорошо известны. Вблизи резонансной энергии §г фаза I-й
парциальной волны проходит через я/2 в соответствии с формулой
tg%(g)"f?^-- (3-81)
Подставив ничтоже сумняшеся это выражение в формулы метода ППВ или ККР ,
мы можем найти соответствующий закон дисперсии электронов % (к). При этом
должно получиться сложное выра-
136
Гл. 3. Электронные состояния
жепие, центрированное около точки % г - точно так же, как и в методе
сильной связи (фиг. 63). Однако в данном случае положение и ширина
резонансной зоны внутри зоны проводимости выражаются через энергию Шь
отсчитанную от нуля ячеечного потенциала и через ширину резонанса Wг. Ни
одну из этих величин нельзя строго вычислить в методе JIKAO.
Фиг. 64. Волновая функция виртуального состояния, проникающая сквозь
центробежный барьер.
Если подставить выражение (3.81) в формулу (3.79) для матричных элементов
псевдопотенциала ККР, то величины Tgg- окажутся сингулярными при энергии,
близкой к ШЭта сингулярность сильно ухудшает сходимость рядов в методе
почти свободных электронов. Последнее, однако, не связано с особенностями
именно этого метода. Сильная энергетическая зависимость матричных
элементов псевдопотенциала даже на значительном удалении от резонансного
уровня составляет характерную черту теории зонной структуры многих
твердых тел. Она не всегда в достаточной мере учитывается в расчетах.
§ 11. Симметрия кристаллов и спин-орбиталыюе взаимодействие 137
§ 11. Симметрия кристаллов и спин-орбитальное взаимодействие
При расчете структуры зон весьма важную роль играют свойства симметрии
кристалла. Их обычно исследуют с помощью теории групп, однако последняя
слишком обширна, чтобы излагать ее в этой книге. В общем основная теорема
гласит, что энергия, рассматриваемая как функция квазиимпулъса в зоне
Бриллюэна, обладает симметрией всей точечной группы кристалла. Любые
преобразования (например, вращения кристалла вокруг оси), оставляющие
кристалл неизменным, преобразуют в себя саму также и функцию % (к).
Фиг. 65. а - произвольная точка к в обратном пространстве; б - точки и
линии симметрии в квадратной зоне Бриллюэна.
Этим обстоятельством можно воспользоваться для классификации и упрощения
энергетических уровней и волновых функций, соответствующих различным
точкам зопьт Бриллюэна. Рассмотрим, например, квадратную решетку с
квадратной зоной Бриллюэна. Выберем некоторую произвольную точку к и
поставим себе задачу разложить соответствующую волновую функцию в ряд по
присоединенным или по ортогонализованным плоским волнам - так, как это
делалось в формулах (3.63) или (3.43):
Условимся включать в сумму (3.82) только слагаемые с обратными векторами
из набора, показанного на фиг. 65, а. Вообще говоря, при этом все векторы
(k - g) будут различными по величине и по направлению. То же будет
относиться и к коэффициентам "к-g - никаких явных соотношений между ними
не будет. Поэтому нельзя обойтись без решения секулярного уравнения
максимальной степени сложности.
а
5
Ч'к - /j ak-g^k-g* ё
(3.82)
138
Гл. 3. Электронные состояния
Пусть, однако, решение ищется в некоторой точке А, лежащей на оси
симметрии в зоне Бриллюэна. Очевидно, тогда в разложении (3.82) будет
много одинаковых коэффициентов. Например, пары точек (g5 и g8), (g2 и
g4), (g6 и g7) расположены симметрично по отношению к точке А и потому им
