Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
остова (фиг. 60). Однако, как правило, один и тот же модельный потенциал
wt (г, Щ неприменим для различных значений I или для различных энергий.
Поэтому возникает необходимость вводить операторы типа (3.55), по-разному
действующие на компоненты волновой функции, соответствующие различным
значениям момента количества движения. На практике конкретный вид каждой
компоненты модельного псевдопотенциала wt (г, %) выбирается главным
образом по соображениям удобства вычислений, а не по каким-либо иным
более глубоким причинам.
Для решетки, изображенной на фиг. 58, следует, очевидно* взять модельный
потенциал в виде б-функций на поверхности атомной сферы и для каждого I
подобрать мощность 6-функция
132
Гл. 3. Электронные состояния
так, чтобы воспроизвести фазу rj/ (I) (фиг. 61). Пользуясь известными
аналитическими свойствами плоских волн и сферических функций Бесселя, мы
получаем для матричных элементов "псевдо-
Фиг. 60. Модельный потенциал w, которому внутри атома отвечает волновая
функция Ф, имитирует действие истинного потенциала v, которому
соответствует истинная волновая функция г|з.
потенциала", которые фигурируют в секулярном уравнении метода ККР,
следующую формулу:
гкКР = 2 (21 + 1) tg /;(1--~^(^}2-Г|Л,) Pi (cos ,
i
(3.79)
ггде
ctgr^ctg^-^gg. (3.80)
Выражение (3.79) весьма сходно с формулой (3.78) для амплитуды рассеяния
изолированным атомом. Оно переходит в нее в пределе
§ 9. Модельные псевдопотенциалы
133
малых фаз, когда вблизи границы зоны Бриллюэна | k - g |
" | к - g' | " х.
Любопытно, что секулярное уравнение метода ККР можно преобразовать в
систему уравнений метода почти свободных электронов с матричными
элементами потенциала вида (3.79). Для этого нужно только провести ряд
преобразований матриц из представления момента количества движения (3.64)
в представление векторов обратной решетки. Формула (3.79) и выражение
(3.65) для матричных элементов в методе ППВ имеют сходную алгебраическую
структуру, хотя последнее выражение само по себе нельзя вывести из
какого-либо набора простых локальных потенциалов"
Фиг. 61. Модельный псевдопотенциал, используемый для расчета матричных
элементов в методе ККР.
Практический расчет ячеечного потенциала для того или иного конкретного
кристалла представляет собой довольно сложную процедуру, заметную роль в
которой играет учет эффектов экранирования, корреляции и обмена (см. гл.
5). Очень удобно с самого начала, так сказать, еще до того, как атомы
объединяются в решетку, заменить глубокие потенциальные ямы в пределах
атомных остовов модельным псевдопотенциалом w, действующим па валентные
электроны. Если взять такой псевдопотенциал (вне атомного остова) в
кулоновском виде, (-Ze2/r), то можно даже рассчитать спектральные термы
свободного атома и подобрать параметры потенциала w так, чтобы получить
согласие с экспериментом. Такая процедура позволяет обойти многие
теоретические расчеты самосогласованного поля в атомах. Она составляет
основу методов Хейне - Абаренкова и Шоу; соответствующие модельные
псевдопотенциалы схематически изображены на фиг. 62.
В методе Хейне - Абаренкова внутренняя область "атомного остова" имеет
произвольный радиус, а потенциал ц>ХА в ней считается постоянным и таким,
чтобы для любого значения момента количества движения получались
правильные собственные значе-
134
Гл. 3. Электронные состояния
ния энергии стационарных состояний электронов. В методе Шоу для каждого
значения I радиус Rt подбирается так, чтобы не было скачка потенциала шш
на "границе атомного остова". Возникают,
Г
-Л, !
\ У*\
\ \
\ /
\ /
V \ 1МГ)
Фиг. 62. а - модельный псевдопотенциал Хейне - Абаренкова; б - модельный
псевдопотенциал Шоу.
однако, трудности при подборе этих параметров для таких значений энергии
% блоховских состояний, которые не совпадают со спектральными термами
атома.
§ 10. Резонансные зоны
Уже в ранних работах по методу сильной связи (§ 4 настоящей главы) было
замечено, что волновые функции d-состояний очень сильно концентрируются
внутри атомного остова; по этой причине перекрытие их между соседними
атомами может приводить к образованию только узких зон. В переходных
элементах не все внутренние d-уровни заполнены, и лежат они очень близко
к s- и р-уров-ням валентных электронов. Последние гибридизируются,
образуя обычную зону проводимости. Узкая "d-зона" с плотностью состояний,
способной вместить до 10 электронов на атом, попадает внутрь "s - p-зоны"
и гибридизируется с ней в точках, где эти зоны пересекаются (фиг. 63).
Понятно, что описанная ситуация очень важна из-за связанных с ней
магнитных явлений.
Нетрудно найти интерполяционную схему, т. е. ввести модельный
гамильтониан с подгоночными параметрами, так чтобы в методе JIKAO d-зона
изображалась волновой функцией вида (3.31). Степень гибридизации при этом
будет определяться произвольными матричными элементами, связывающими две
субматрицы, отвечающие s - р- и d-зопам.
