Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В § 6 настоящей главы мы видели, что влияние потенциалов отдельных атомов
па электроны можно свести к воздействию слабого псевдопотенциала. Как
отражается этот важный факт на расчете зонной структуры в случае
ячеечного потенциала?
Потенциалы атомов не фигурируют явно ни в формуле (3.65) (метод ППВ), ни
в формуле (3.75) (метод ККР); указанные соотношения содержат только
градиенты функций вычисленные на поверхности атомной сферы. Те же
градиенты появляются
130
Гл. 3. Электронные состояния
и в теории рассеяния на сферическом потенциале (метод парциальных волн,
см. § 5 гл. 5). Мы сшиваем каждую радиальную волновую функцию %г (г, Ш) с
волновой функцией свободного электрона, отвечающей тому же значению
энергии % = х2 и моменту количества движения I. При этом определяется
фаза т1г(§), связанная с логарифмической производной функции aAi формулой
Г _ Ski (Rs, <S) _. j'l (иг) - tgT]; (%)-П1 (кг)
1 ~ (Rs, %) h (иг) -tgr)i (%)-ni (xr)
r-Rs
(3.77)
Сферические функции Бесселя /г и пг (ji и п\ -их производные)
представляют собой, разумеется, решения радиального уравнения Шредингера
(3.60) для свободной частицы вне потенциальных ям (ср. фиг. 58).
Видно, что, определив фазы всех парциальных волн при любых значениях
энергии, мы получили бы всю необходимую информацию о потенциале атома;
например, в выражении (3.75) диагональные элементы секулярного
детерминанта содержат просто х ctg т1г(§). Это довольно естественно; фазы
определяют сечение рассеяния электронов отдельным атомом, а
следовательно, и картину дифракции электронов с энергией Ш на решетке из
атомов. Можно думать, что каждый атом рассеивает так, как если бы он был
изолированным и характеризовался амплитудой рассеяния на угол 0 (t-
матрицей) стандартного вида:
ta (0)= - ^ 2 (2^-f l)sm%exp (й],) (cos0). (3.78)
i
Наличие глубокой потенциальной ямы может привести к большим значениям
фаз. Однако в формулах (3.77) и (3.78) можно, очевидно, отбросить в
выражениях для т]г все слагаемые, кратные я. Принимать во внимание нужно
только остаток; вполне возможно, что он приводит к очень слабому
рассеянию. Из теории рассеяния известно, что с ростом глубины ямы
поперечное сечение | ta (0) |2 не возрастает до бесконечности, а
осциллирует по мере появления новых связанных состояний; при этом по
порядку величины оно редко превышает несколько электронных длин волн в
квадрате. Другими словами, борновское приближение, в котором сечение
рассеяния с переходом из состояния к в состояние к' пропорционально
величине | (к' | уа|к) |2, неприменимо, если потенциал va (г) очень
глубок. В этом случае вместо названного приближения надо пользоваться,
например, методом парциальных волн.
В этом обстоятельстве как раз и состоит причина медленной сходимости
рядов, фигурирующих в модели почти свободных электронов (§ 2 настоящей
главы). Действительно, мы пользуемся теорией возмущений, дабы описать
рассеяние на каждом атоме
§ 9. Модельные псевдопотенциалы
131
кристалла. Однако для описания быстрых осцилляций волновой функции внутри
атома нужны фурье-компопенты потенциала высокого порядка. Последние в то
же время лишь очень слабо влияют на общую картину дифракции блоховских
волн вне атомных остовов. Каждый узел функции °Л i добавляет к фазе г]г
слагаемое я,, но это не меняет существенно выражений (3.65), (3.75) и
(3.78). Введение псевдопотенциала (3.50) в методе ортогонализованных
плоских волн представляет собой с этой точки зрения не что иное, как
аналитический прием для устранения указанных узлов путем вычитания
ортогонализованных волновых функций внутренних состояний атомного остова.
Остающийся слабый псевдопотенциал Г устроен так, что вне атомного остова
он приводит к тем же волновым функциям, что и исходный потенциал атома
va.
Эта интерпретация роли псевдопотепциала наводит на мысль о возможности
иначе подойти ко всей проблеме зонной структуры - заменить потенциал
отдельного атома va слабым потенциалом wa, который характеризуется той же
амплитудой рассеяния электронов проводимости. Интуитивно представляется
очевидным" что энергия электрона в исходном кристалле Щ (к) будет такой
же, как п в указанном гипотетическом материале. В последнем случае,
однако, метод почти свободных электронов должен будег давать хорошо
сходящиеся выражения. Все, что мы должны сделать,- это заменить величины
f"g'-g и Tgg* , фигурирующие соответственно в формулах (3.14) и (3.64),
на подходящие фурье-компоненты нашего модельного потенциала.
Такая программа сталкивается с трудностями из-за нелокаль-ности и
неоднозначности псевдопотенциала и из-за зависимости его от энергии.
Трудности эти уже были выявлены в связи с аналитическим выражением (3.56)
для псевдопотенциала. При фиксированных энергии % и моменте количества
движения I существует бесконечно много локальных потенциалов wx (г, Ш),
для которых решение радиального уравнения Шредингера (3.60) точно
воспроизводит истинную радиальную волновую функцию % г вне атомного
