Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Займан Дж. -> "Принципы теории твердого тела" -> 46

Принципы теории твердого тела - Займан Дж.

Займан Дж. Принципы теории твердого тела — М.: Мир, 1966. — 478 c.
Скачать (прямая ссылка): principiteoriitverdogotela1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 174 >> Следующая

выражение (3.61) в формулу (3.59), получаем функцию фь (г), называемую
присоединенной плоской волной (ИПВ). В пространстве между сферами она
равна exp (tk-r), а внутри сферы с центром в точке I она удовлетворяет
условию
(г) = е1к'1фк (г- I). (3.62)
К сожалению, эта функция еще не удовлетворяет уравнению Шредингера с
потенциалом всей решетки. В самом деле, мы еще не предполагали наличия
какой-либо связи между энергией Ш и волновым вектором к. Известно,
однако, что окончательную
-1) Эта функция выражается через обычную функцию Бесселя порядка (I +
1/2).- Прим. перев.
§ 7. Присоединенные плоские волны
125
волновую функцию можно построить из 1ШВ; согласно теореме Блоха, она
должна иметь вид
^k(r) = Sak-g^k-g(r). (3.63)
g
где коэффициенты ak-g подлежат определению.
Следующий шаг состоит в том, чтобы воспользоваться выражением (3.63) как
пробной функцией при вычислении энергии вариационным методом. Легко
показать, что коэффициенты разложения должны удовлетворять уравнениям
вида
{(к - g)2 - ^}ak-g+ 2 Tgg'ak.g" = 0, (3.64)
g'
где Tgg' -интеграл, содержащий функции фк-g, фk-g' и гамильтониан с
периодическим потенциалом.
Вывод формул для таких интегралов завел бы нас слишком далеко в детали
метода. Результат имеет вид
rgg^if-{-[(k--g>(k-g)-g]...^,1|^) +
о° f
+ 2 (2* +1) Рг (cos egg.) Ml k - g | Д.) Ml k- g' I Rs) } ,
i=0
(3.65)
где Ogg' - угол менаду векторами (k - g) и (k - g'), а функция aA\ -
производная от радиальной функции Яг. Выкладка, приводящая к формуле
(3.65), состоит в основном в вычислении главного члена - типа первого
слагаемого в правой части (3.65). Этот член происходит от областей вне
сфер. Остальные слагаемые возникают из-за действия оператора градиента на
присоединенные плоские волны, производные которых имеют разрывы на
поверхности каждой сферы.
Задача о расчете зонной структуры сводится теперь к решению системы
линейных уравнений (3.64). Искомое решение существует, лишь если
детерминант системы обращается в нуль. Выберем некоторое значение вектора
к. Все коэффициенты будут зависеть от § - либо явно, как в самом
уравнении (3.64), либо неявно - через величину Fgg-, определяемую
формулой (3.65). Детерминант системы вычисляется для некоторого заданного
значения Щ, которое затем изменяется, пока не будет найден корень.
Соответствующее значение % и дает искомую оценку функции % (к).
Рассмотренная только что методика расчета зонной структуры металлов с
помощью присоединенных плоских волн довольно надежна и практична. Она
связана с большим объемом вычислительной работы, но все же годится для
решения конкретных задач. Результат, например, не слишком чувствителен к
выбору радиуса
126
Гл. 3. Электронные состояния
атомного потенциала Rs и остается справедливым в присутствии d-зон (см. §
10 настоящей главы). Интересно, однако, посмотреть, как мы в конце концов
возвращаемся к формулам, похожим по структуре на формулы метода почти
свободных электронов. Уравнение (3.64) в точности совпадает с прежним
уравнением (3.14), если только заменить там фурье-компоненты потенциала
атомов более сложными выражениями
5^ g-g'-^Tgg*.
Другими словами, величины Tgg> суть фурье-компоненты эффективного
атомного потенциала. Если бы оказалось, что они не слишком сильно зависят
от Щ и к, а представляют собой просто некоторые функции от аргумента | g
- g' |, то поверхность Ферми и все остальное можно было бы строить прямо
по методу почти свободных электронов.
К сожалению, компоненты псевдопотенциала (3.65), построенного из
присоединенных плоских волн, обычно не так малы, как хотелось бы. Это
видно из контрольного расчета с пустой решеткой, т. е. из расчета функции
Щ (к) для "решетки" с потенциалом Т (г) = 0. Поскольку производные по г
от функций в (3.65) не исчезают автоматически в точке г = Rs, то и
коэффициенты Tgg- не обращаются в нуль даже тогда, когда фурье-компоненты
истинного потенциала ^g-g' равны нулю. При этом, чтобы получить даже
тривиальный результат Ш (к) = к2, требуется немалая вычислительная
работа. Таким образом, нельзя объяснить практический успех метода
присоединенных плоских волн, просто апеллируя к представлению о
псевдопотенциале, введенному в § 6 настоящей главы. Этот вопрос мы еще
обсудим в § 8 настоящей главы.
§ 8. Метод функций Грина
Излагаемая ниже методика по виду принципиально отличается от
рассмотренной ранее, но по существу сводится к тому же. Начнем со
стандартного интегрального уравнения для волновой функции в поле с
произвольным потенциалом Т(г):
* w = -¦h 1ехр I г-гчг'!) Т(г'> * (r>>dT'- <3-66)
Здесь
к2 = g, (3.67)
так что к - действительная величина при Щ > 0 и мнимая при
Ш < 0.
Равенство (3.66) означает, что волновая функция при рассеянии на
потенциале переходит сама в себя; отдельные волны, прихо-
§ 8. Метод функций Грина
127
дящие из различных точек г' с интенсивностью !Г(г') г|) (г'),
складываются и вновь дают функцию г|) (г). Рассмотрим теперь потенциал
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 174 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed