Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
122
Гл. 3. Электронные состояния
Суть дела состоит в том, что потенциал атомов ТГ, будучи притягивающим,
отрицателен. Это особенно относится к окрестности точки г = 0. Потенциал
же ТГя, содержащий разность % - Ъt и квадратичный по волновым функциям
внутренних состояний, положителен. Эти два потенциала частично
компенсируют друг друга и уменьшают значение величины Г. Подходящим
выбором волновых функций внутренних состояний эту компенсацию можно
усилить, но никогда нельзя достичь полной компенсации.
Следует заметить, что описанный выше процесс построения оператора Т'п не
однозначен. Можно показать, что для валентных электронов собственные
значения гамильтониана f'r)
одинаковы при любых псевдопотенциалах вида
TR<f> = %{Ft, ф)Ь{, (3.56)
t
где функции Ft совершенно произвольны. Чтобы убедиться в этом, заметим,
что оператор ТГR всегда проектирует функцию ф па множество волновых
функций внутренних состояний. Искомые же собственные функции валентных
электронов, ортогональны к этому множеству. Поэтому добавление оператора
п к гамильтониану не меняет задачи на собственные значения в пространстве
собственных функций валентных электронов.
Таким образом, разумно выбирая функции Ft, можно попытаться получить
хорошую компенсацию. Полагая, например,
Ft = -Tbt, (3.57)
мы получаем
ГфъГф-'Яфг, Гф)Ь. (3.58)
Следовательно, из потенциала ТГ можно вычесть любую его часть, которая
представляется в виде суммы волновых функций внутренних состояний. Это и
объясняет, почему во многих случаях оператор Г оказывается весьма малым.
Таким образом, принцип компенсации, хотя он и не представляет собой
строго доказанной теоремы, все же оправдывает представление о
псевдопотенциале - оказывается, валентные электроны в металлах и
полупроводниках ведут себя так, как если бы они не слишком сильно
взаимодействовали с ионами кристаллической решетки. В этом и состоит
причина практического успеха модели почти свободных электронов (§ 3
настоящей главы) ;- не только при построении красивых картинок для
поверхности Ферми (фиг. 49), но и в теории гораздо более еложных явлений,
как, например, электропроводности и фононных спектров (см. § 12 и 13 гл.
6). Во многих отношениях метод псевдопотенциала оказался одним из
наиболее плодотворных направле-
§ 7. Присоединенные плоские волны
123
ний в теории твердого тела со времени работы Блоха в начале 1930 г.
Тем не менее с теоретической точки зрения описанная выше разновидность
"аналитического" псевдопотенциала, основанного на формализме
ортогонализованных плоских волн, не вполне удовлетворительна.
Псевдопотенциал, как было показано, сильно зависит от энергии и от
момента количества движения. Это - не настоящий локальный потенциал; он
не определен однозначно и не приспособлен естественным образом для
описания d-зон (см. § 10 настоящей главы). Главный результат,
устанавливаемый с его помощью, состоит в том, что модель почти свободных
электронов фактически гораздо лучше, чем это кажется на первый взгляд.
Этот результат, однако, почти с такой же ясностью вытекает и нз
рассматриваемых в следующем параграфе методов, основанных на
представлении об ячеечном потенциале. Более того, там не приходится
говорить о "псевдоплоских" волнах вроде функции ф (3.44).
§ 7. Присоединенные плоские волны
Общее возражение против метода JIKAO и метода ячеек состоит в том, что в
пространстве между ионами металла потенциал мало меняется. Пусть этот
потенциал действительно сферически симметричен в области радиуса Rs
вокруг каждого узла и постоянен в промежуточных областях (фиг. 58) J).
Будем считать, что Rs несколько меньше радиуса сферы Вигнера - Зейтца га,
так что рассматриваемые области не перекрываются. Уравнение Шредингера
внутри каждой сферы радиуса Rs можно решить точно (выразив решение через
сферические гармоники). Можно также найти точные решения (плоские волны)
и в областиТвне сфер. Сшивая эти решения на поверхности каждой сферы,
можно построить решение уравнения Шредингера во всем кристалле.
Фактически процедура состоит в следующем: пусть % есть энергия
рассматриваемого состояния. Внутри каждой сферы решение уравнения
Шредингера имеет вид
Ф (г) = S (г. Ш) Ylm (9, ф), (3.59)
1т
где Yim (0, ф) есть сферическая гармоника, 0, ф - полярные углы вектора
г, а -решение радиального уравнения (в атомных единицах):
-kt(r*d-§L) + {UIW1}- + r М} (3.60)
') Автор пользуется термином "muffin-tin potential"- буквально "потенциал
в виде формочек для приготовления сдобы".- Прим. ред.
124
Гл. 3. Электронные состояния
Выберем теперь коэффициенты Сгтп так, чтобы функция ф(г) точно сшивалась
на поверхности г = Rs с единственной плоской волной ехр(гк-г). Пользуясь
стандартным разложением плоской волны по сферическим гармоникам, легко
показать, что тогда
clm=(21+1) il {} Yfm (9', ф') . (3.6i)
Здесь углы 0', ф' определяют направление вектора к, а величина ]i (kRs)
есть сферическая функция Бесселя J). Подставляя
Фиг. 58. Приближенный вид потенциала.
