Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Займан Дж. -> "Принципы теории твердого тела" -> 44

Принципы теории твердого тела - Займан Дж.

Займан Дж. Принципы теории твердого тела — М.: Мир, 1966. — 478 c.
Скачать (прямая ссылка): principiteoriitverdogotela1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 174 >> Следующая

btk'
(^k, btlL) = 0. (3.40)
Кроме того, как мы знаем, функция i|jk в областях между
атомами похожа на плоскую волну. Соответственно будем искать
волновую функцию одного из возбужденных состояний в виде
Xk = eik'r -SP(btk. (3.41)
Подходящим выбором коэффициентов можно добиться того, чтобы выражение
(3.41) удовлетворяло условию ортогональности
§ 6. Ортогоналиаованные плоские волны
119
(3.40). Таким образом, функция %к превращается в ортогонализо-ванн-ую
плоскую волну (фиг. 57)
Хк==е*.г_2<Ь(к, e*-r)btk. (3.42)
Это - разумное выражение. Действительно, в промежуточной области, где все
функции b(k малы (внутренние состояния сильно локализованы), функция
(3.42) имеет вид exp (ik-r); вместе с тем
Фиг. 57. Структура ортогонализованных плоских волн.
а - плоская волна; б - волновая функция сильно локализованного состояния;
в - ортогонализованная плоская волна, т. е. плоская волна за вычетом
волновой функции сильно локализованного состояния.
в самом атоме она ортогональна ко всем волновым функциям внутренних
состояний и поэтому может изображать волновую функцию одного из
возбужденных атомных уровней. Пусть, например, волновые функции
внутренних состояний суть функции типа 2s и 2р (каждая из них имеет одну
узельную поверхность). Тогда функция будет иметь еще одну дополнительную
узельную поверхность точно так же, как и функции типа 3s и Зр.
120
Гл. 3. Электронные состояния
Разложим теперь искомую волновую функцию в ряд по орто-гонализованным
плоским волнам, т. е. будем искать решение уравнения Шредингера в виде,
аналогичном (3.12):
ipk= 2 "k-gXt-g- (3.43)
g
Для определения коэффициентов ccjf_g воспользуемся вариационным
принципом, минимизируя среднее значение энергии. Эта процедура также
хорошо знакома, и нет необходимости явно выписывать все выражения.
Оказывается, что на начальных стадиях ряд (3.43) сходится удивительно
быстро. С помощью одной лишь ортогонализованной плоской волны часто
удается представить волновую функцию в больших областях k-пространства.
Даже в углах зоны Бриллюэ-иа может понадобиться всего 3 или 4 члена. Этот
метод с успехом применялся для исследования некоторых металлов и
полупроводников. Применимость его не ограничена условием сферической
симметрии потенциалов, окруженных пространством, в котором силы
отсутствуют.
Почему так получается? Весьма убедительна следующая аргументация Филлипса
и Клейнмана.
Пусть точная волновая функция имеет вид (3.43) с некоторыми определенными
значениями^коэффициентов ak~g. Напишем функцию
<f, = 2"k-gei(k-g),r, (3.44)
g
представляющую собой просто линейную комбинацию плоских волн с теми же
коэффициентами. Тогда с учетом равенств (3.42) и (3.43) можно написать
(мы опускаем индекс к, имея в виду, что он всегда одинаков)
¦ф= Ф - 2 (bt, Ф) bt. (3.45)
t
Подставим это в уравнение Шредингера 38ty = ё'ф. Получим
СШф-^{Ьи ф)Ш1 = %ф - ШЪФи ф)Ъи (3.46)
t t
Или, поскольку bt есть собственная функция гамильтониана Ш, принадлежащая
энергии §t,
сШф 2 фгтф) 4" §2 (Ь{,ф) bt = %ф. (3.47)
t t
Таким образом,
^ + 2(S-gf)MM> = gf (3-48)
t
§ 6. Ортогонализованные плоские волны
121
На это равенство можно смотреть как на повое уравнение Шредин-гера
т + Гп) ф = шф, (3.49)
где оператор ?'R формально определен равенством
rH^=S(g-gt)Mbi. ?>• (3.50)
Таким образом, "сглаженная" волновая функция ф удовлетворяет новому
уравнению, в котором "гамильтониан" имеет вид
Ш + TR= -~VZ + T + TR. (3.51)
Дело обстоит так, как если бы надо было разложить по плоским волнам
собственные функции гамильтониана с псевдопотенциалсм
Г = Т + TR. (3.52)
Теперь можно применить формальный аппарат, рассмотренный в § 2 настоящей
главы. Коэффициенты ctk_g должны удовлетворять уравнениям типа (3.14) с
тем исключением, что вместо фурье-компонент истинного потенциала решетки
°1Г нужно подставлять фурье-компоненты потенциала Г.
Эти уравнения представляют собой, разумеется, не более чем другую форму
уравнений, получающихся при варьировании коэффициентов ctk_g в выражении
для среднего значения энергии, если в качестве пробной функции берется
(3.43). Однако оказывается (весьма вероятно, что это - общее свойство),
что фурье-компоненты потенциала Г малы всегда, исключая первые несколько
значений вектора обратной решетки. Функцию ф можно назвать псевдоволновой
функцией. Она удовлетворяет уравнению (3.49), в котором эффективный
потенциал относительно слаб. Мы вновь возвращаемся к простой модели почти
свободных электронов.
Утверждение, что оператор Г можно рассматривать как слабый локальный
потенциал, не является строгим. Символ У'R фактически обозначает
нелокальный оператор
Гп (г, г') = S (Ш - St) bt (г) b? (г'), (3.53)
t
так что
гнф= j Гп(т, г'ЖО*'. (3.54)
Отсюда видно, например, что результат действия оператора T'r на функции с
разным моментом количества движения будет различным. Соответственно надо
было бы писать
rR - rs + Тр + Та + . . ., (3.55)
где оператор Тs действует только на функции s-типа и т. д.
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 174 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed