Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Введем вектор
(dv<7 dva дх'а \
т. е. градиент частоты vq в q-пространстве. Этот вектор имеет размерность
скорости (в модели Дебая он равен скорости звука) и играет важную роль во
всех задачах, связанных с переносом энергии волной. Действительно, это
есть не что иное, как групповая скорость волнового пакета с волновым
вектором q в среде с данным законом дисперсии.
Определение (2.66) позволяет формально упростить формулу (2.65). Возьмем
элемент объема в q-пространстве в виде цилиндра, боковая поверхность
которого перпендикулярна поверхности vq = V. Площадь основания цилиндра
пусть будет dSv, а высота
^ = (2'67)
Направление нормали к поверхности vq = v совпадает с направлением вектора
vq, так что из формулы
$(v)dv = ^3lv dSvdg± (2.68)
следует
<2-б9>
где vq есть абсолютная величина вектора vq.
Формулой (2.69) мы будем пользоваться как в теории колебаний решетки, так
и в теории электронных состояний. Сама по себе
66
Гл. 2. Колебания решетки
эта формула говорит немного, но она позволяет выяснить природу
сингулярностей функции 3 (v). Эти сингулярности должны возникать в
критических точках, в которых величина i?q обращается в нуль, т. е.
функция vq является локально "плоской".
Предположим, что точка qc критическая. Поскольку функция Vq непрерывно
зависит от q, ее можно разложить в окрестности этой точки в ряд Тейлора.
Линейный член разложения пропадает, так как vq = 0. Квадратичные члены с
помощью преобразования к главным осям можно привести к сумме квадратов.
Таким образом, можно написать
vq = vc + ai^ + a2^ + a3y + ..., (2.70)
где 1 = 4 - Чс есть вектор отклонения от критической точки, отнесенный к
выбранным главным осям, а коэффициенты а*, а2, а3 определяются вторыми
производными функции vq по компонентам вектора q, вычисленными в
критической точке.
Пусть, например, все коэффициенты а*, а2, а3 отрицательны. Это означает,
что функция v имеет локальный максимум и поверхности постоянной частоты
(2.70) суть эллипсоиды. Как известно из аналитической геометрии, объем,
ограниченный такой поверхностью, соответствующей частоте vq = v и
окружающей точку qc, есть
° |aia2a3| ^
Дифференцируя по v в соответствии с определением (2.65), находим
Я М-ГШ1-------------& ^~v>1/2- (2-72>
4п2N | aia2ct3 I '2
Эта формула справедлива при v < vc; если v > vc, то окрестность точки дс
не дает вклада в величину 3 (v). Видно, что сингулярпость
рассматриваемого типа не портит непрерывности самой функции 3) (v), но ее
производная 33 (v)/dv испытывает разрыв и стремится к -оо, когда v vc
снизу.
Есть и другие возможности для коэффициентов аъ а2, а3. Так, если один из
них положителен, а два других отрицательны, то возникает седловая точка.
В этом случае вид спектра в окрестности точки vc получается из тех же
формул аналитической геометрии:
Г C + 0{v - vc) (v<vc),]
^(v) = | с- 1-----------------t^(v-vc)1/2~; 0(v-vc) (v>vc).| (2-73>
^ 4n2N | aja2(X31 12 3
Как и в предыдущем случае, разрыв непрерывности испытывает только
производная: функция с односторонней вертикальной касательной
накладывается на плавную функцию С + О (v - vc), которая возникает за
счет других областей зоны Бриллюэна.
§ 5. Спектральная плотность колебаний решетки
67
Всего, как показано на фиг. 27, существует четыре типа критических точек.
Символы jS^ и S2 обозначают седловые точки соответственно 1-го и 2-го
типов [последний получается, когда два коэффициента а положительны, а
один отрицателен; поведение функции при этом обратно таковому для функции
(2.73)]. Случай минимума, очевидно, аналогичен случаю максимума.
Рассмотренные только что сингулярности не очень опасны, но они весьма
важны. Теорема Ван Хова, по существу, утверждает, что спектр должен
содержать по крайней мере по одной критической точке обоих типов S'i и S2
и что производная функции
Фиг. 27. Различные типы сингулярностей по Ван Хову.
35 (v) должна стремиться к -оо на верхнем конце спектра. Доказательство
требует знания некоторых теорем функциональной топологии, которое здесь
не предполагается. Ход рассуждений, однако, можно проиллюстрировать на
случае двух измерений [тогда седловые точки приводят к логарифмическим
сингулярностям, а точки экстремумов - к конечным разрывам функции 3)
(v)].
Суть дела в том, что частота v4 есть непрерывная периодическая функция
вектора q в обратном пространстве. Пусть она имеет минимум в некоторой
точке тп в зоне Бриллюэна (фиг. 28). Аналогичные минимумы будут,
очевидно, и во всех эквивалентных точках обратной решетки. Пусть далее vq
достигает максимума в некоторой точке М в зоне Бриллюэна. Эта критическая
точка будет соответствовать вершине холма, возникающего вокруг точки М в
схеме повторяющихся зон1). Такие вершины будут распределены по всему
обратному пространству.
х) Если максимум попадает в угол зоны, то может показаться, что
интегрировать следует лишь по той части области, которая лежит в пределах
зоны. Автоматически появятся, однако, и вклады от других углов зоны, так
