Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно,
gi)=(^L)1/3-L, XD = ^L~2,Qrs. (2.55)
Другими словами, граничная длина волны акустического типа лишь немного
больше среднего диаметра элементарной ячейки. В решетке не могут
распространяться волны с более короткой длиной волны.
С учетом двух указанных допущений спектральная плотность принимает вид
(256>
где vD - sqD есть дебаевская частота. Формула для удельной теплоемкости
будет
vD е/г
j^*. (2.57)
62
Гл. 2. Колебания решетки
Мы положили здесь z = hvIkT и
к(c) = hvD. (2.58)
Последнее равенство дает определение температуры Дебая 0.
Выражение (2.57) и есть знаменитый закон Дебая для теплоемкости (фиг.
24). Оно имеет очень простую структуру.
1. Когда отношение 770 велико, верхний предел интеграла мал и
подынтегральное выражение можно разложить в ряд по степеням z. В
результате получаем
0/Т
о
Соответственно
Су = 3 Nk.
Это есть закон Дюлонга и Пти.
2. При низких температурах верхний предел интеграла во всех
практически интересных случаях можно устремить к бесконечности. Тогда
интеграл стремится к постоянной 4л4/15 и
Су~Щ?Мк(^у. (2.61)
Это есть хорошо известный кубичный закон {Т3) теплоемкости, справедливый
при низких температурах.
Формула Дебая оправдывается для большинства твердых тел, а температура
Дебая табулируется как физический параметр
вещества. Она дает наиболее удобный в динамической теории решетки масштаб
температуры: величина к(c) представляет максимальный квант энергии,
способный возбудить колебания решетки. Кроме того, температура 0 связана
со средней скоростью звука в кристалле соотношением
к(r) = hqDs. (2.62)
Тем не менее при выводе формулы (2.57) были сделаны самые радикальные
упрощения. Был принят очень специальный вид спектральной плотности
колебаний решетки (фиг. 25, а). Соотношение SB (v) ~ V2 должно
выполняться вблизи ТОЧКИ V = О, когда материал ведет себя как упругий
континуум, но резкий
Фиг. 24. Закон Дебая для теплоемкости.
(2.59)
(2.60)
§ 4. Удельная теплоемкость решетки
63
обрыв спектра на частоте vD не обоснован. Более точные расчеты
(результаты которых представлены, например, на фиг. 25, б) показывают,
что имеется обширный участок с несколькими пиками, которые соответствуют
колебаниям различной поляризации, сильно отличающимся по скоростям.
Имеется также тенденция к образованию заметного пика при высоких
частотах, что связано с сильной дисперсией вблизи границ зоны. Кривые для
частоты vq как функции вектора q уплощаются (ср. фиг. 22), и,
следовательно, между поверхностями, отличающимися по частоте на dv,
заключается больший объем в q-пространстве.
Фиг. 25. а - дебаевский спектр; 6 - истинный спектр колебаний решетки.
При рассмотрении решетки с базисом необходимо принять во внимание также
оптические колебания. Частота их мало зависит от волнового вектора, и
поэтому здесь лучше применима модель Эйнштейна, в которой всем колебаниям
приписывается одн! и та же частота. Отсюда
= Mk ^tZ"E'hT = ЫЪ . (2-63)
(е Е - I)2 (А/Г-1Я
где (r)Е - эйнштейновская температура, определяемая равенством
ЮЕ = hvE. (2.64)
Следует заметить, однако, что и для сложного кристалла можно было бы
выразить теплоемкость в виде единой формулы Дебая, если бы величину N в
формуле (2.57) мы считали не числом элементарных ячеек, а полным числом
атомов в кристалле. Это как раз то самое, что получилось бы в
пренебрежении различиями координат и масс атомов в элементарной ячейке.
Формула Дебая не содержит никаких параметров, характеризующих фактическую
структуру кристалла. Поэтому указанный подход мог бы дать не такое уж
плохое приближение. В сущности, мы приме-
64
Гл. 2. Колебания решетки
няем искусственно увеличенную зону Бриллюэна [расширенную зонную схему
(фиг. 26, а)] и пренебрегаем наличием щели, кото-
Анустическая ветвь Оптическая ветвь
5
Фиг. 26. Поверхности постоянной частоты для акустической и оптической
ветвей.
а - в схеме расширенных зон; б - в двух отдельных зонах.
рая возникает (как, например, на фиг. 19, в) за счет несовпадения масс и
условий движения для различных атомов в элементарной ячейке.
§ 5. Спектральная плотность колебаний решетки
65
§ 5. Спектральная плотность колебаний решетки
Фактическое вычисление распределения частот нормальных колебаний
составляет задачу численного расчета. Чтобы довести ее до конца, iter
иного пути, кроме решения уравнений (2.13) для густой сетки значений
вектора q и определения числа значений функции v(|, попадающих в каждый
интервал длины dv.
Существует, однако, важный принцип (так называемая теорема Ван Хова),
которому подчиняется функция 3) (v) и который определяет природу ее
сингулярностей. Полное доказательство этой теоремы не входит в наши
задачи, но общий ход рассуждений интересен.
Для простоты будем рассматривать лишь одну 'ветвь спектра (фиг. 26). Доля
общего числа колебаний с частотами в диапазоне dv равна
^(v)dv = ^-j j \d% (2.65)
где интегрирование ведется по объему слоя в q-пространстве, в котором v ^
vq ^ v dv.
